1. Каково распределение числа светофоров, которые автомобиль встретит на пути к месту назначения, если каждый светофор

1. Давайте рассмотрим задачу о распределении числа светофоров, которые автомобиль встречает на пути к месту назначения, при условии, что каждый светофор пропускает автомобиль с вероятностью \( \frac{1}{3} \).

Для начала определим, какие значения может принимать случайная величина, обозначим её как \( X \). В данном случае возможные значения - это количество светофоров на пути, представленные натуральными числами, то есть \( X = \{0, 1, 2, \ldots \} \).

Теперь нам нужно найти вероятность \( P(X = k) \) для каждого значения \( k \) из возможного диапазона. Заметим, что данная задача относится к биномиальному распределению, так как каждый светофор пропускает автомобиль независимо от других светофоров.

Вероятность того, что автомобиль встретит ровно \( k \) светофоров, вычисляется по формуле вероятности биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где \( C_n^k \) обозначает число сочетаний из \( n \) элементов по \( k \), а \( p \) - вероятность пропуска каждого светофора.

В нашем случае \( n \) равно количеству возможных светофоров на пути, а \( p = \frac{1}{3} \).

Распределение числа светофоров представляет собой ряд вероятностей для каждого значения \( k \).

\[
\begin{align*}
P(X = 0) &= C_n^0 \cdot p^0 \cdot (1 - p)^n \\
P(X = 1) &= C_n^1 \cdot p^1 \cdot (1 - p)^{n - 1} \\
P(X = 2) &= C_n^2 \cdot p^2 \cdot (1 - p)^{n - 2} \\
&\vdots
\end{align*}
\]

Для построения графика функции распределения и полигона данного распределения, необходимо вычислить вероятности для каждого значения \( k \) и отобразить их на координатной плоскости.

2. Теперь давайте рассмотрим задачу о распределении числа попыток, которые дежурный делает, чтобы открыть дверь одной из комнат, используя один из 7 ключей. При этом нельзя использовать один и тот же ключ дважды.

Для начала определим, какие значения может принимать случайная величина, обозначим её как \( Y \). В данном случае возможные значения - это количество попыток, которые дежурный делает перед открытием двери, представленные натуральными числами, то есть \( Y = \{1, 2, 3, \ldots \} \).

Так как один ключ нельзя использовать дважды, вероятность открытия двери с использованием каждого ключа уменьшается с каждой попыткой.

Вероятность того, что дверь будет открыта с \( k \)-ой попытки, вычисляется как:

\[ P(Y = k) = \left( \frac{6}{7} \right)^{k - 1} \cdot \frac{1}{7} \]

где \( k \) - номер попытки.

Распределение числа попыток представляет собой ряд вероятностей для каждого значения \( k \).

\[
\begin{align*}
P(Y = 1) &= \left( \frac{6}{7} \right)^0 \cdot \frac{1}{7} \\
P(Y = 2) &= \left( \frac{6}{7} \right)^1 \cdot \frac{1}{7} \\
P(Y = 3) &= \left( \frac{6}{7} \right)^2 \cdot \frac{1}{7} \\
&\vdots
\end{align*}
\]

Также для построения графика функции распределения и полигона данного распределения необходимо вычислить вероятности для каждого значения \( k \) и отобразить их на координатной плоскости.