1) Какова вероятность, что орел выпадет ровно 16 раз из 28 подбрасываний монетки? 2) Найти соотношение вероятности

1) Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность выпадения орла в каждом броске монетки составляет \(p = \frac{1}{2}\), так как монетка симметрична. Чтобы найти вероятность того, что орел выпадет ровно 16 раз, мы можем использовать формулу:

\[
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

где \(X\) - количество успехов в серии независимых испытаний, \(p\) - вероятность успеха в одном испытании, \(n\) - общее количество испытаний, \(k\) - количество успехов, \(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\).

В данной задаче у нас \(p = \frac{1}{2}\), \(n = 28\), \(k = 16\). Подставим эти значения в формулу:

\[
P(X = 16) = C_{28}^{16} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{28-16}
\]

\[
P(X = 16) = \frac{28!}{16! \cdot (28-16)!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{28}
\]

Рассчитаем это значение:

\[
P(X = 16) = \frac{28!}{16! \cdot 12!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{28}
\]

\[
P(X = 16) = 3.7767 \cdot 10^{-2}
\]

Таким образом, вероятность того, что орел выпадет ровно 16 раз из 28 подбрасываний монетки, составляет около 0.0378 или 3.78%.

2) Чтобы найти соотношение вероятностей, мы можем использовать отношение формул биномиального распределения. Для этого сначала рассчитаем вероятность выпадения орла ровно 18 раз из 36 подбрасываний:

\[
P(X = 18) = C_{36}^{18} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{18} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{36-18}
\]

\[
P(X = 18) = \frac{36!}{18! \cdot 18!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{36}
\]

Рассчитаем это значение:

\[
P(X = 18) = 1.8830 \cdot 10^{-3}
\]

Затем рассчитаем вероятность выпадения орла ровно 21 раз из 42 подбрасываний:

\[
P(X = 21) = C_{42}^{21} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{21} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{42-21}
\]

\[
P(X = 21) = \frac{42!}{21! \cdot 21!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{42}
\]

Рассчитаем это значение:

\[
P(X = 21) = 1.6921 \cdot 10^{-3}
\]

Теперь найдем соотношение вероятностей, разделив вероятность выпадения орла ровно 18 раз на вероятность выпадения орла ровно 21 раз:

\[
\frac{P(X = 18)}{P(X = 21)} = \frac{1.8830 \cdot 10^{-3}}{1.6921 \cdot 10^{-3}}
\]

\[
\frac{P(X = 18)}{P(X = 21)} \approx 1.1133
\]

Таким образом, соотношение вероятностей, при которой орел выпадет ровно 18 раз из 36 подбрасываний монеты и 21 раз из 42 подбрасываний монеты, составляет около 1.1133.

3) Для решения этой задачи мы также можем использовать биномиальное распределение. Вероятность изготовления нестандартной детали составляет \(p = 0.001\). Нам нужно найти вероятность того, что среди 1427 деталей окажется ровно 11 нестандартных деталей. Подставим значения в формулу биномиального распределения:

\[
P(X = 11) = C_{1427}^{11} \cdot 0.001^{11} \cdot (1-0.001)^{1427-11}
\]

\[
P(X = 11) = \frac{1427!}{11! \cdot (1427-11)!} \cdot 0.001^{11} \cdot 0.999^{1416}
\]

Рассчитаем это значение:

\[
P(X = 11) = 9.7957 \cdot 10^{-31}
\]

Таким образом, вероятность того, что среди 1427 деталей окажется ровно 11 нестандартных деталей, составляет около \(9.7957 \cdot 10^{-31}\).

4) Чтобы найти наиболее вероятное количество выпадения одной точки при 81 подбрасывании шестигранной игральной кости, мы можем использовать мультиномиальное распределение. В данном случае нам нужно найти значение \(m_0\) (вероятности выпадения одной точки). Для этого мы рассчитываем вероятности для каждого значения \(m_0\) и находим максимальное значение.

Пусть \(p_i\) обозначает вероятность выпадения значения \(i\) на игральной кости. Для шестигранной игральной кости каждая вероятность равна \(\frac{1}{6}\), так как все значения равновероятны. В данной задаче у нас \(n = 81\), \(m_0\) - количество выпадений одной точки.

Общая формула для вероятности мультиномиального распределения:

\[
P(X = (m_0, m_1, m_2, m_3, m_4, m_5)) = \frac{n!}{m_0! \cdot m_1! \cdot m_2! \cdot m_3! \cdot m_4! \cdot m_5!} \cdot (p_0)^{m_0} \cdot (p_1)^{m_1} \cdot (p_2)^{m_2} \cdot (p_3)^{m_3} \cdot (p_4)^{m_4} \cdot (p_5)^{m_5}
\]

где \(X\) - последовательность выпадений каждой грани, \(m_i\) - количество выпадений грани \(i\), \(n\) - общее количество бросков, \(p_i\) - вероятность выпадения грани \(i\).

Мы хотим найти наиболее вероятное значение \(m_0\). Для этого можно подставить различные значения \(m_0\) (от 0 до 81) в формулу мультиномиального распределения и найти максимальное значение вероятности.

Рассчитаем вероятности для всех значений \(m_0\) от 0 до 81 и найдем максимальное значение вероятности:

\[
\text{максимальная вероятность} = \max_{m_0} P(X = (m_0, m_1, m_2, m_3, m_4, m_5))
\]

Учитывая, что у нас шестигранная игральная кость, где все грани равновероятны, наиболее вероятное значение \(m_0\) будет равно \(\frac{n}{6}\), где \(n\) - количество бросков.

В данном случае, \(n = 81\), поэтому наиболее вероятное количество выпадения одной точки \(m_0\) будет равно \(\frac{81}{6} = 13.5\).

Пожалуйста, обратите внимание, что в данной задаче нужно было найти дискретное значение количества выпадений одной точки, поэтому мы округлили наиболее вероятное значение до целого числа, испрользуя правило округления вниз. Таким образом, наиболее вероятное количество выпадения одной точки при 81 подбрасывании шестигранной игральной кости или их суммы будет равно 13.