1. Какова сумма бесконечной геометрической прогрессии, где первый член равен 80, а знаменатель равен 30/80?

1. Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем, мы можем использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

Где:
- \( S \) - сумма прогрессии,
- \( a \) - первый член прогрессии,
- \( r \) - знаменатель прогрессии.

В данном случае, первый член равен 80, а знаменатель равен \(\frac{{30}}{{80}}\).

Подставим значения в формулу и найдем сумму:

\[ S = \frac{{80}}{{1 - \frac{{30}}{{80}}}} \]

Упростим знаменатель:

\[ S = \frac{{80}}{{\frac{{80 - 30}}{{80}}}} \]

\[ S = \frac{{80}}{{\frac{{50}}{{80}}}} \]

\[ S = \frac{{80 \cdot 80}}{{50}} \]

\[ S = \frac{{6400}}{{50}} \]

\[ S = 128 \]

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 80 и знаменателем \(\frac{{30}}{{80}}\) равна 128.

2. Чтобы записать число 0,888... в виде простой дроби, мы будем использовать метод замены.

Пусть \( x = 0,888... \).

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[ 10x = 8,888... \]

Вычтем из первого уравнения второе уравнение:

\[ 10x - x = 8,888... - 0,888... \]

\[ 9x = 8 \]

Теперь разделим обе части уравнения на 9:

\[ \frac{{9x}}{{9}} = \frac{{8}}{{9}} \]

\[ x = \frac{{8}}{{9}} \]

Таким образом, число 0,888... можно записать в виде простой дроби \(\frac{{8}}{{9}}\).

3. Чтобы найти первый член бесконечной геометрической прогрессии с известной суммой и знаменателем, мы можем использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{{a}}{{1 - r}} \]

В данном случае, сумма прогрессии равна 18, а знаменатель равен \(\frac{{2}}{{9}}\).

Подставим значения в формулу и найдем первый член:

\[ 18 = \frac{{a}}{{1 - \frac{{2}}{{9}}}} \]

Разделим знаменатель на обратное число:

\[ 18 = \frac{{a}}{{1 - \frac{{2}}{{9}}}} \cdot \frac{{9}}{{9}} \]

\[ 18 = \frac{{9a}}{{9 - 2}} \]

\[ 18 = \frac{{9a}}{{7}} \]

Умножим обе части уравнения на 7:

\[ 18 \cdot 7 = 9a \]

\[ 126 = 9a \]

Разделим обе части уравнения на 9:

\[ \frac{{126}}{{9}} = a \]

\[ 14 = a \]

Таким образом, первый член бесконечной геометрической прогрессии с суммой 18 и знаменателем \(\frac{{2}}{{9}}\) равен 14.