1) Какова длина пересечения линии на сфере, если диаметр сферы составляет 1 метр, а плоскость пересекает сферу

Полученная задача относится к геометрии и требует рассмотрения формул и геометрических свойств.

1) Для нахождения длины пересечения линии на сфере необходимо рассмотреть плоскость, которая пересекает сферу на расстоянии 0,3 метра от ее центра. Данная плоскость делит сферу на две полусферы.

Пересечение линии сферы и плоскости образует окружность на плоскости пересечения.

Для определения длины пересечения необходимо найти длину дуги окружности. Сначала найдем радиус окружности.

Радиус сферы равен половине диаметра, и в данной задаче равен 0,5 метра.

Радиус окружности, образованной пересечением, равен расстоянию между центром сферы и плоскостью, то есть 0,3 метра.

Теперь можно использовать формулу для расчета длины дуги окружности на сфере. Данная формула имеет вид:

\[L = 2\pi R \cdot \phi /360 \]

где L - длина дуги окружности на сфере, R - радиус окружности, а \(\phi\) - центральный угол между точками пересечения дуги.

Центральный угол \(\phi\) можно найти, зная радиус окружности и расстояние между центром и плоскостью.

Используя теорему Пифагора, можем найти значение \(\phi\) следующим образом:

\[\sin(\phi/2) = \frac{0,3}{0,5} = 0,6\]

\[\phi/2 = \arcsin(0,6)\]

\[\phi/2 = 36,9^\circ\]

Так как нас интересует длина половины дуги окружности, то умножим на 2:

\[\phi = 2 \cdot 36,9^\circ = 73,8^\circ\]

Подставляем значения в формулу и находим длину дуги:

\[L = 2\pi \cdot 0,3 \cdot 73,8/360 \approx 0,381 \,метра\]

Таким образом, длина пересечения линии на сфере составляет примерно 0,381 метра.

2) Для нахождения расстояния от центра шара до сечения, площадь которого составляет 2q/3, необходимо использовать соотношение площадей сечений.

Сечение, площадь которого составляет 2q/3, делит шар на две половины с площадями, отношение которых равно 2q/3.

Площадь большого круга шара известна и равна \(S_{\text{б.к.}}\).

Соотношение площадей двух половин:

\[\frac{2q/3}{S_{\text{б.к.}}/2} = \frac{2}{3} \]

Подставляем в формулу \(S_{\text{б.к.}} = 4\pi R^2\), где R - радиус шара:

\[\frac{2q/3}{4\pi R^2/2} = \frac{2}{3} \]

Упрощаем:

\[\frac{q}{6\pi R^2} = \frac{2}{3} \]

Домножаем на 6\(\pi R^2\):

\[q = \frac{4}{3} \pi R^2\]

Теперь можем использовать полученное уравнение, чтобы найти расстояние от центра шара до сечения.

Площадь сечения можно выразить через радиус сечения r:

\[2q/3 = \frac{4}{3} \pi r^2\]

Находим расстояние:

\[\frac{4}{3} \pi r^2 = \frac{2q}{3} \]

\[r^2 = \frac{2q}{6\pi} \]

\[r = \sqrt{\frac{2q}{6\pi}} \]

Таким образом, расстояние от центра шара до сечения, площадь которого составляет 2q/3, равно \(\sqrt{\frac{2q}{6\pi}}\).