Какова обыкновенная дробь, если числитель на 3 меньше знаменателя? Если к числителю добавить 20, а к знаменателю

Давайте решим задачу шаг за шагом:

Пусть обыкновенная дробь, которую мы ищем, имеет вид \(\frac{{x-3}}{x}\), где \(x\) - знаменатель.

Условие задачи говорит нам, что если к числителю добавить 20, а к знаменателю добавить 16, то дробь уменьшится на 0,4. То есть, согласно этому условию, мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{{x-3+20}}{{x+16}} = \frac{{x-3}}{{x}} - 0,4\)

Дальше приведенное уравнение нужно решить, чтобы найти значение \(x\) и, соответственно, обыкновенную дробь.

1. Раскроем скобки на левой стороне:

\(\frac{{x+17}}{{x+16}} = \frac{{x-3}}{{x}} - 0,4\)

2. Умножим обе части уравнения на \(x(x+16)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(x(x+16)(x+17) = (x-3)(x+16)x - 0,4x(x+16)\)

3. Раскроем скобки и проведем необходимые алгебраические операции:

\(x(x^2 + 33x + 272) = (x^2 + 13x - 48)x - 0,4(x^2 + 16x)\)

\(x^3 + 33x^2 + 272x = x^3 + 13x^2 - 48x - 0,4x^2 - 6,4x\)

4. Сократим одинаковые слагаемые на обеих сторонах уравнения:

\(33x^2 + 272x = 13x^2 - 48x - 0,4x^2 - 6,4x\)

\(33x^2 + 272x = 12,6x^2 - 54,4x\)

5. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

\(33x^2 + 272x - 12,6x^2 + 54,4x = 0\)

\(20,4x^2 + 326,4x = 0\)

6. Раскроем скобки:

\(20,4x(x + 16) = 0\)

7. Разделим обе части уравнения на 20,4:

\(x(x + 16) = 0\)

8. Получаем два возможных значения \(x\): \(x = 0\) или \(x = -16\).

Однако, мы помним, что в изначальной задаче говорилось, что \(x\) - знаменатель и не может быть равным нулю. Значит, единственным корректным значением знаменателя является \(x = -16\).

Теперь мы можем найти числитель. По условию задачи, числитель на 3 меньше знаменателя, поэтому:

Числитель = -16 - 3 = -19

Ответ: Искомая обыкновенная дробь равна \(\frac{{-19}}{{-16}}\).