На сколько точек (x, y) на плоскости координат удовлетворяет уравнению y⁴ - x² = √72x - 81x²

Давайте пошагово решим данную задачу.

Шаг 1: Приведение уравнения к квадратному виду
Мы должны преобразовать данное уравнение к квадратному виду, чтобы найти значения точек координат. Для этого приведем данное уравнение к виду \(Ax^2 + Bx + C = 0\).

Для начала, введем дополнительную переменную \(u = \sqrt{72x - 81x^2}\). Теперь у нас уравнение принимает следующий вид:
\[y^4 - x^2 = u\]

Шаг 2: Преобразование уравнения
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и получить полином высокой степени.
\[(y^4 - x^2)^2 = u^2\]

Раскроем скобки, используя правило квадрата разности:
\[y^8 - 2x^2y^4 + x^4 = u^2\]

Шаг 3: Подстановка значения переменной \(u\)
Подставляем значение переменной \(u = \sqrt{72x - 81x^2}\) в уравнение:
\[y^8 - 2x^2y^4 + x^4 = (\sqrt{72x - 81x^2})^2\]

Упростим правую часть уравнения:
\[y^8 - 2x^2y^4 + x^4 = 72x - 81x^2\]

Шаг 4: Приведение уравнения к виду квадратного трехчлена
Поменяем местами члены в уравнении и приведем его к стандартному виду, сгруппировав все члены:
\[x^4 - 81x^2 + 2x^2y^4 - 72x + y^8 = 0\]

Данное уравнение является квадратным трехчленом относительно переменной \(x\).

Шаг 5: Использование квадратного трехчлена для нахождения точек
Мы можем использовать этот квадратный трехчлен, чтобы найти значения точек координат, удовлетворяющих уравнению. Однако, для полного решения, нам необходимо получить квадратное уравнение относительно переменной \(x\).

Раскроем скобки в \(2x^2y^4\) и перегруппируем члены:
\[x^4 - 79x^2 - 72x + y^8 = 0\]

Шаг 6: Нахождение значений переменной \(x\)
Теперь, мы можем использовать методы решения квадратных уравнений для нахождения значений переменной \(x\). Решение этой квадратной системы позволит нам также найти значения переменной \(y\) соответствующие каждому значению \(x\).

Применяем методы решения квадратных уравнений или графический метод, чтобы получить значения точек координат, удовлетворяющих данному уравнению.

Пошаговое решение здесь достаточно сложное, но если вам нужна конкретная пара значений x и y, я могу предоставить ее.