Какие уравнения касательных нужно использовать для рисования касательной к графику функции y=x^3, чтобы она была

Для рисования касательной, параллельной прямой \(y = 25x - 9\), к графику функции \(y = x^3\), нам нужно использовать уравнение касательной, которое имеет такой же наклон, как у данной прямой.

Уравнение касательной к графику функции \(y = x^3\) в точке \((a, a^3)\) задается следующим образом:

\[y_{\text{кас}} = f"(a)(x-a) + f(a)\]

где \(f"(a)\) - производная функции \(f(x)\) в точке \(a\).

Так как функция \(y = x^3\) является монотонно возрастающей, то ее производная будет равна \(f"(x) = 3x^2\). Теперь найдем производную в точке \(a\) и подставим значения в уравнение касательной:

\[y_{\text{кас}} = 3a^2(x-a) + a^3\]

Так как мы хотим, чтобы касательная была параллельна прямой \(y = 25x - 9\), то их наклоны должны быть равны. Наклон прямой равен коэффициенту при \(x\), то есть \(25\).

Из уравнения касательной получаем:

\[3a^2 = 25\]

Решим это уравнение относительно \(a\):

\[a^2 = \frac{25}{3} = \frac{75}{9}\]

\[a = \pm \sqrt{\frac{75}{9}} = \pm \frac{\sqrt{75}}{3} = \pm \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}}{3} = \pm \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, новые уравнения касательных к графику функции \(y = x^3\), параллельные прямой \(y = 25x - 9\), будут иметь вид:

1. Новое \(y_{\text{кас}} = 3 \cdot \left(\frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot \left(x - \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3}\right) + \left(\frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3}\right)^3\)
2. Новое \(y_{\text{кас}} = -3 \cdot \left(\frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot \left(x + \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3}\right) + \left(\frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3}\right)^3\)

Надеюсь, это решение понятно. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.