1. Каков угол между диагональю B1A и диагональю B1C, которые находятся в соседних гранях куба и имеют общий конец?

Задача 1. Для нахождения угла между диагональю \(B1A\) и диагональю \(B1C\), которые находятся в соседних гранях куба и имеют общий конец, мы можем использовать косинусную теорему.

Пусть сторона куба равна \(a\). Тогда длина диагонали \(B1A\) равна \(\sqrt{2}a\), так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(a\). Аналогично, длина диагонали \(B1C\) также равна \(\sqrt{2}a\).

Используем косинусную теорему:

\[\cos{\theta} = \frac{(\sqrt{2}a)^2 + (\sqrt{2}a)^2 - a^2}{2(\sqrt{2}a)(\sqrt{2}a)}\]

\[\cos{\theta} = \frac{2a^2 + 2a^2 - a^2}{4a^2}\]

\[\cos{\theta} = \frac{3}{4}\]

Теперь мы можем найти угол \(\theta\) с помощью арккосинуса:

\[\theta = \arccos{\left(\frac{3}{4}\right)}\]

\[\theta \approx 41.41^\circ\]

Таким образом, угол между диагональю \(B1A\) и диагональю \(B1C\) составляет примерно \(41.41^\circ\).

Задача 2. Для нахождения угла между диагональю \(BD\) и диагональю \(AB1\), которые находятся в соседних гранях куба и не имеют общего конца, мы также можем использовать косинусную теорему.

Пусть сторона куба равна \(a\). Тогда длина диагонали \(BD\) равна \(\sqrt{3}a\), так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(a\). Аналогично, длина диагонали \(AB1\) также равна \(\sqrt{3}a\).

Используем косинусную теорему:

\[\cos{\theta} = \frac{(\sqrt{3}a)^2 + (\sqrt{3}a)^2 - a^2}{2(\sqrt{3}a)(\sqrt{3}a)}\]

\[\cos{\theta} = \frac{6a^2 - a^2}{6a^2}\]

\[\cos{\theta} = \frac{5}{6}\]

Теперь мы можем найти угол \(\theta\) с помощью арккосинуса:

\[\theta = \arccos{\left(\frac{5}{6}\right)}\]

\[\theta \approx 29.74^\circ\]

Таким образом, угол между диагональю \(BD\) и диагональю \(AB1\) составляет примерно \(29.74^\circ\).

Задача 3. Для нахождения угла между диагональю \(AC\) и диагональю \(B1D1\), которые находятся в противоположных гранях куба и не параллельны, мы также можем использовать косинусную теорему.

Пусть сторона куба равна \(a\). Тогда длина диагонали \(AC\) равна \(\sqrt{3}a\), так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(a\). Аналогично, длина диагонали \(B1D1\) также равна \(\sqrt{3}a\).

Используем косинусную теорему:

\[\cos{\theta} = \frac{(\sqrt{3}a)^2 + (\sqrt{3}a)^2 - a^2}{2(\sqrt{3}a)(\sqrt{3}a)}\]

\[\cos{\theta} = \frac{6a^2 - a^2}{6a^2}\]

\[\cos{\theta} = \frac{5}{6}\]

Теперь мы можем найти угол \(\theta\) с помощью арккосинуса:

\[\theta = \arccos{\left(\frac{5}{6}\right)}\]

\[\theta \approx 29.74^\circ\]

Таким образом, угол между диагональю \(AC\) и диагональю \(B1D1\) составляет примерно \(29.74^\circ\).

Пожалуйста, обратите внимание, что все вычисления выполнены для куба со стороной \(a\), и результаты представлены в градусах.