Анализировать функцию и нарисовать диаграмму f (x) = 5x^2 - 7x

Конечно! Давайте начнем с анализа функции \(f(x) = 5x^2 - 7x\).

1. Найдем вершину параболы:
Формула для нахождения абсциссы вершины параболы это \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно. В нашем случае \(a = 5\) и \(b = -7\), поэтому:
\[x = -\frac{-7}{2 \cdot 5} = \frac{7}{10}\]

Теперь, чтобы найти ординату вершины параболы, подставляют эту абсциссу обратно в исходную функцию:
\[f\left(\frac{7}{10}\right) = 5\left(\frac{7}{10}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{10}\right) = \frac{49}{20} - \frac{49}{10} = -\frac{49}{20}\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{7}{10}, -\frac{49}{20}\right)\).

2. Определим, как парабола открывается:
Так как коэффициент \(a\) при \(x^2\) положительный (в нашем случае \(5 > 0\)), парабола открывается вверх.

3. Найдем ось симметрии:
Ось симметрии параболы совпадает с абсциссой вершины. В нашем случае, это \(x = \frac{7}{10}\).

4. Найдем пересечения с осями координат:
Чтобы найти пересечения с осью \(x\), приравняем \(f(x)\) к нулю и решим уравнение:
\[5x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x(5x - 7) = 0\]

Таким образом, получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = \frac{7}{5}\).
Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((0, 0)\) и \(\left(\frac{7}{5}, 0\)\).

Чтобы найти пересечение с осью \(y\), подставим \(x = 0\) в функцию \(f(x)\):
\[f(0) = 5 \cdot 0^2 - 7 \cdot 0 = 0\]

Таким образом, парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0, 0)\).

5. Построим график функции \(f(x) = 5x^2 - 7x\):

На графике видно, что парабола открывается вверх, имеет вершину в точке \(\left(\frac{7}{10}, -\frac{49}{20}\right)\) и пересекает ось \(x\) в точках \(x = 0\) и \(x = \frac{7}{5}\). Она также пересекает ось \(y\) в точке \((0, 0)\).

Надеюсь, этот подробный анализ поможет вам лучше понять и визуализировать функцию \(f(x) = 5x^2 - 7x\).