1. Какое количество платьев необходимо сшить Жасмине, чтобы получить наибольшую прибыль, если она шьет x платьев в день

1. Чтобы определить количество платьев, необходимых для получения наибольшей прибыли, нам нужно найти значение переменной \(x\), которое максимизирует функцию прибыли \(p(x)\), заданную выражением \(p(x) = -x^2 + 20\).

Для этого мы можем использовать метод дифференцирования функций. Найдем производную функции \(p(x)\) по переменной \(x\):

\[
p"(x) = \frac{{dp(x)}}{{dx}} = \frac{{d(-x^2 + 20)}}{{dx}}
\]

Производная функции позволяет нам определить, как функция меняется при изменении переменной. Найдем производную:

\[
p"(x) = -2x
\]

Теперь найдем точку, в которой производная равна нулю, так как это может быть точка экстремума функции. Решим уравнение:

\[
p"(x) = -2x = 0
\]

Отсюда получаем, что \(x = 0\). Затем проверим вторую производную функции \(p(x)\), чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом:

\[
p""(x) = \frac{{d^2p(x)}}{{dx^2}} = \frac{{d(-2x)}}{{dx}} = -2
\]

Так как значение второй производной отрицательно (\(p""(x) = -2\)), это говорит о том, что точка \(x = 0\) является максимумом функции \(p(x)\).

Итак, чтобы получить наибольшую прибыль, Жасмине необходимо сшить 0 платьев.

2. Теперь перейдем ко второй задаче, в которой нам необходимо найти квадратичную функцию и исследовать ее.

Дано, что квадратичная функция представлена в общем виде \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Задача состоит в том, чтобы определить значения \(a\), \(b\) и \(c\).

Из условия задачи нам известно, что функция \(p(x)\) будет иметь вид \(p(x) = -x^2 + 20\). Сравнивая это с общей формой квадратичной функции, мы определяем значения:

\(a = -1\),
\(b = 0\),
\(c = 20\).

Теперь проведем анализ функции \(p(x)\):

а) Дискриминант функции (\(\Delta\)) позволяет определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. В данном случае, дискриминант равен:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Подставив значения \(a = -1\), \(b = 0\) и \(c = 20\), получаем:

\[
\Delta = 0^2 - 4(-1)(20) = 80
\]

Так как дискриминант больше нуля (\(\Delta > 0\)), это означает, что у уравнения есть два различных корня.

б) Экстремумы функции определяются как точки, в которых функция достигает максимального или минимального значения. В данном случае, мы уже рассмотрели первую задачу и установили, что функция \(p(x)\) имеет максимальный экстремум в точке \(x = 0\).

в) Нули функции представляют собой значения \(x\), при которых функция обращается в ноль. Для нахождения нулей функции \(p(x)\), мы решаем уравнение:

\[
p(x) = -x^2 + 20 = 0
\]

При решении этого уравнения получаем два значения:

\[
x_1 = -\sqrt{20} \approx -4.47, \quad x_2 = \sqrt{20} \approx 4.47
\]

г) Монотонность функции определяет, как функция меняется при изменении значения переменной. В данном случае, функция \(p(x)\) является максимальной при \(x = 0\), а затем убывает с увеличением и уменьшением значения переменной.

3. Чтобы определить наибольшую прибыль в рублях, нам нужно найти максимальное значение функции прибыли \(p(x)\) для значения переменной \(x\), которое мы уже определили в первой задаче.

Подставляя \(x = 0\) в функцию прибыли \(p(x) = -x^2 + 20\), получаем:

\[
p(0) = -(0)^2 + 20 = 20
\]

Таким образом, наибольшая прибыль в рублях равна 20 рублям.