1. What is the twelfth term and the sum of the first twelve terms of an arithmetic progression (an) with a1 = 3

1. Чтобы найти двенадцатый член (a12) арифметической прогрессии и сумму (S12) первых двенадцати членов, мы можем использовать формулы для арифметической прогрессии:

a_n = a_1 + (n-1)d
S_n = (n/2)(a_1 + a_n)

Где a_n - n-тый член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, S_n - сумма первых n членов прогрессии.

Используя данную информацию для первых двух членов (a1 = 3 и a2 = 7), мы можем вычислить разность прогрессии (d). Разность (d) вычисляется путем вычитания первого члена из второго члена:

d = a2 - a1

d = 7 - 3

d = 4

Теперь мы можем найти двенадцатый член (a12) путем подстановки значения n = 12 в формулу для арифметической прогрессии:

a12 = a1 + (12-1)d

a12 = 3 + 11*4

a12 = 3 + 44

a12 = 47

Теперь давайте найдем сумму (S12) первых двенадцати членов прогрессии, подставив значения в формулу для суммы прогрессии:

S12 = (12/2)(a1 + a12)

S12 = 6(3 + 47)

S12 = 6*50

S12 = 300

Итак, двенадцатый член арифметической прогрессии равен 47, а сумма первых двенадцати членов равна 300.

2. Чтобы найти седьмой член (b7) геометрической прогрессии и сумму (S6) первых шести членов, мы можем использовать формулы для геометрической прогрессии:

b_n = b_1 * q^(n-1)
S_n = b_1 * (1 - q^n) / (1 - q)

Где b_n - n-тый член прогрессии, b_1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, S_n - сумма первых n членов прогрессии.

Используя данную информацию для первого члена (b1 = -) и знаменателя (q = 2), мы можем вычислить седьмой член (b7) геометрической прогрессии, подставив значение n = 7 в формулу для геометрической прогрессии:

b7 = b1 * q^(7-1)

b7 = - * 2^6

b7 = - * 64

b7 = -

Теперь давайте найдем сумму (S6) первых шести членов прогрессии, подставив значения в формулу для суммы прогрессии:

S6 = b1 * (1 - q^6) / (1 - q)

S6 = - * (1 - 2^6) / (1 - 2)

S6 = - * (1 - 64) / -1

S6 = - * (-63) / -1

S6 = 63

Итак, седьмой член геометрической прогрессии равен -, а сумма первых шести членов равна 63.

3. Чтобы вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии 27, -9, 3, ..., мы можем использовать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

S = b_1 / (1 - q)

Где S - сумма бесконечной геометрической прогрессии, b_1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Используя данную информацию (b1 = 27 и q = -9/27 = -1/3), мы можем подставить значения в формулу для суммы:

S = 27 / (1 - (-1/3))

S = 27 / (4/3)

S = 27 * 3/4

S = 81/4

S = 20.25

Итак, сумма бесконечной геометрической прогрессии 27, -9, 3, ... равна 20.25.

4. Чтобы найти номер члена прогрессии (an), равного 6.4, при известных значениях первого члена (a1 = 3.6) и разности (d = 0.4), мы можем использовать формулу для арифметической прогрессии:

a_n = a_1 + (n-1)d

Где a_n - n-тый член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

Подставим известные значения в формулу:

6.4 = 3.6 + (n-1)*0.4

2.8 = (n-1)*0.4

2.8/0.4 = n-1

7 = n-1

n = 8

Итак, восьмой член арифметической прогрессии равен 6.4.

5. Чтобы найти два числа, которые должны быть вставлены между 2 и -54, чтобы образовать геометрическую прогрессию, мы можем использовать формулу для геометрической прогрессии:

b_n = b_1 * q^(n-1)

Где b_n - n-тый член прогрессии, b_1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Используем данную информацию (b1 = 2 и последний член -54) для нахождения знаменателя (q) прогрессии:

-54 = 2 * q^(n-1)

q^(n-1) = -54/2

q^(n-1) = -27

Теперь нам нужно найти n-1, чтобы была возможность найти два числа, которые должны быть вставлены:

n-1 = log(q^(n-1))

n-1 = log(-27)

n-1 = log(27) + log(-1)

n-1 = 3.301 + i*pi

n = 4.301 + i*pi

Таким образом, n имеет комплексное значение и для образования геометрической прогрессии между 2 и -54 требуется использовать комплексные числа.

6. Не хватает информации для ответа на ваш вопрос. Пожалуйста, уточните, какое значение вы хотели бы найти.