1) Какие значения имеют третий, одиннадцатый и двадцать четвёртый члены арифметической прогрессии с первым членом

Решение:

1) Для нахождения третьего, одиннадцатого и двадцать четвёртого членов арифметической прогрессии воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

Где \(a_n\) - \(n\)-тый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Для данной задачи первый член прогрессии равен 3, а разность равна 0.5.

Третий член \(a_3\) будет иметь номер \(n = 3\), поэтому:

\[a_3 = 3 + (3-1) \cdot 0.5\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[a_3 = 3 + 2 \cdot 0.5 = 4\]

Таким образом, третий член арифметической прогрессии равен 4.

Аналогично, одиннадцатый член \(a_{11}\) будет иметь номер \(n = 11\):

\[a_{11} = 3 + (11-1) \cdot 0.5\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[a_{11} = 3 + 10 \cdot 0.5 = 8\]

Таким образом, одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 8.

Наконец, двадцать четвёртый член \(a_{24}\) будет иметь номер \(n = 24\):

\[a_{24} = 3 + (24-1) \cdot 0.5\]

После вычислений, получаем:

\[a_{24} = 3 + 23 \cdot 0.5 = 15.5\]

Таким образом, двадцать четвёртый член арифметической прогрессии равен 15.5.

Окончательный ответ: третий член равен 4, одиннадцатый член равен 8, а двадцать четвёртый член равен 15.5.

2) Чтобы найти сумму первых 31 члена арифметической прогрессии, воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - \(n\)-тый член прогрессии.

В данной задаче первый член прогрессии равен -8, а разность равна 4 (поскольку каждый следующий член увеличивается на 4).

Таким образом, \(a_1 = -8\) и \(d = 4\).

Для \(n = 31\) имеем:

\[S_{31} = \frac{31}{2} (-8 + a_{31})\]

Необходимо найти \(a_{31}\), используя формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

Подставляем значения:

\[a_{31} = -8 + (31-1) \cdot 4 = -8 + 30 \cdot 4 = 112\]

Теперь можем рассчитать сумму:

\[S_{31} = \frac{31}{2} (-8 + 112)\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[S_{31} = \frac{31}{2} \cdot 104 = 1612\]

Таким образом, сумма первых 31 членов арифметической прогрессии равна 1612.

Окончательный ответ: сумма первых 31 члена арифметической прогрессии равна 1612.