1) Какие операции выполняются с рациональными дробями? Как осуществить возведение рациональной дроби в степень?

Операции, выполняемые с рациональными дробями, включают сложение, вычитание, умножение и деление. Рассмотрим каждую операцию отдельно.

1) Сложение и вычитание рациональных дробей осуществляется следующим образом. Для сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, сложите или вычтите числители и сохраните знаменатель без изменений. Например:

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}\]
\[\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}\]

Для дробей с разными знаменателями, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Затем складываем или вычитаем числители. Например:

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\]
\[\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}\]

2) Возведение рациональной дроби в степень выполняется с помощью возведения числителя и знаменателя в соответствующую степень. Например:

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]

Теперь переформулируем заданные умножения:

1) \(\frac{6y}{x} \cdot \frac{x}{24y}\)

Для умножения рациональных дробей, перемножаем числители и знаменатели. Получаем:

\(\frac{6y \cdot x}{x \cdot 24y} = \frac{6xy}{24xy}\)

Упрощаем дробь, деля числитель и знаменатель на их общий множитель, равный \(6xy\):

\(\frac{6xy}{24xy} = \frac{1}{4}\)

Ответ: \(\frac{1}{4}\)

2) \(\frac{x^4y}{28a} \cdot \frac{-7a}{x^3y^6}\)

Перемножим числители и знаменатели:

\(\frac{x^4y \cdot -7a}{28a \cdot x^3y^6} = \frac{-7ax^4y}{28ax^3y^6}\)

Упрощаем дробь, деля числитель и знаменатель на их общий множитель, равный \(7a\) и \(x^3y\):

\(\frac{-7ax^4y}{28ax^3y^6} = \frac{-x}{4y^5}\)

Ответ: \(\frac{-x}{4y^5}\)

3) \(\frac{11n^4}{12p^6} \cdot 24p^8\)

Перемножим числитель и знаменатель:

\(\frac{11n^4 \cdot 24p^8}{12p^6} = \frac{264n^4p^8}{12p^6}\)

Упрощаем дробь, деля числитель и знаменатель на их общий множитель, равный \(12p^6\):

\(\frac{264n^4p^8}{12p^6} = 22n^4p^2\)

Ответ: \(22n^4p^2\)

4) \(\frac{5a^5b^2}{28mn^2} \cdot \frac{8am^4}{15bn^3} \cdot \frac{21b^3n^6}{32a^6m^3}\)

Перемножим числители и знаменатели:

\(\frac{5a^5b^2 \cdot 8am^4 \cdot 21b^3n^6}{28mn^2 \cdot 15bn^3 \cdot 32a^6m^3}\)

Упрощаем дробь, деля числитель и знаменатель на общие множители:

\(\frac{5 \cdot 8 \cdot 21 \cdot a^5a \cdot b^2b^3 \cdot n^6}{28 \cdot 15 \cdot 32 \cdot m \cdot n^2 \cdot b \cdot n^3 \cdot a^6 \cdot m^3}\)

\(\frac{840a^6b^5n^6}{13440abm^4n^5}\)

Упрощаем дробь, деля числитель и знаменатель на общий множитель 840:

\(\frac{840a^6b^5n^6}{13440abm^4n^5} = \frac{a^6b^5n^6}{16abm^4n^5}\)

Ответ: \(\frac{a^6b^5n^6}{16abm^4n^5}\)

Надеюсь, что решения были понятны. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.