3) В прямоугольном треугольнике АВС мера гипотенузы АВ составляет 36 см, угол А равен 30 градусов. Какова длина катета

Решение:

3) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза \(AB\) равна 36 см, а угол \(А\) равен 30 градусов. Нам необходимо найти длину катета \(ВС\).

У нас есть два известных условия: длина гипотенузы и значение угла. Можем воспользоваться тригонометрическим соотношением в прямоугольном треугольнике - тангенсом.

Тангенс угла равен отношению противоположного катета к прилежащему. В нашем случае, прилежащим катетом является \(ВС\), а противоположным катетом - \(АС\). Поэтому:

\[\tan 30^\circ = \frac{AC}{BC}\]

Так как угол \(А\) равен 30 градусам, то \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Подставляем значение тангенса и длину гипотенузы в уравнение:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AC}{36}\]

Перемножаем обе стороны уравнения на 36, чтобы избавиться от знаменателя:

\[AC = \frac{36}{\sqrt{3}} \approx 20.8\]

Таким образом, длина катета \(ВС\) составляет примерно 20.8 см.

4) В прямоугольном треугольнике \(DBC\) с прямым углом в точке \(C\) проведена высота \(CK\). Мы должны найти меру угла \(ВСК\), если сторона \(DB\) равна 40 см.

Поскольку высота \(CK\) является перпендикуляром к основанию \(DB\), то угол \(ВСК\) и угол \(ВCK\) являются смежными углами.

Мера угла \(ВСК\) равна мере угла \(ВCK\). Найдем меру угла \(ВCK\) с помощью тангенса.

Тангенс угла равен отношению противоположного катета к прилежащему. В нашем случае, противоположным катетом является \(CK\), а прилежащим катетом - \(CK\). Поэтому:

\[\tan ВCK = \frac{CK}{CK}\]

Так как противоположный и прилежащий катеты равны, то:

\[\tan ВCK = \frac{CK}{CK} = 1\]

Обращаясь к таблице значений тангенсов, мы видим, что угол \(ВCK\) равен 45 градусам.

Таким образом, мера угла \(ВСК\) равна 45 градусам.