А point (-1, 2, 4), B point (3, 4, 0), C point (-3, 2, 4). K is the midpoint of BC. Find the angle between the lines

Для начала найдем координаты точки K, которая является серединой отрезка BC. Для этого найдем средние значения координат по формуле середина отрезка:

\[K = \left(\frac{{x_B + x_C}}{2}, \frac{{y_B + y_C}}{2}, \frac{{z_B + z_C}}{2}\right)\]

где точка B имеет координаты (3, 4, 0), а точка C имеет координаты (-3, 2, 4). Подставим эти значения:

\[K = \left(\frac{{3 + (-3)}}{2}, \frac{{4 + 2}}{2}, \frac{{0 + 4}}{2}\right)\]

\[K = \left(0, 3, 2\right)\]

Координаты точки K равны (0, 3, 2).

Теперь нам нужно найти векторы \(\overrightarrow{BK}\) и \(\overrightarrow{CK}\), чтобы затем найти угол между ними. Векторы \(\overrightarrow{BK}\) и \(\overrightarrow{CK}\) получаются вычитанием координат точек:

\[\overrightarrow{BK} = (0 - 3, 3 - 4, 2 - 0) = (-3, -1, 2)\]

\[\overrightarrow{CK} = (0 - (-3), 3 - 2, 2 - 4) = (3, 1, -2)\]

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BK}\) и \(\overrightarrow{CK}\) по формуле:

\[ \overrightarrow{BK} \cdot \overrightarrow{CK} = (-3)(3) + (-1)(1) + (2)(-2) = -9 - 1 - 4 = -14\]

Затем найдем длины векторов \(\overrightarrow{BK}\) и \(\overrightarrow{CK}\) с помощью формулы длины вектора:

\[|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\]

\[|\overrightarrow{BK}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}\]

\[|\overrightarrow{CK}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}\]

Наконец, найдем косинус угла между векторами по формуле:

\[\cos\theta = \frac{\overrightarrow{BK} \cdot \overrightarrow{CK}}{|\overrightarrow{BK}| \cdot |\overrightarrow{CK}|} = \frac{-14}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-14}{14} = -1\]

Угол между векторами \( \theta = \arccos(-1) = \pi \) радиан. Таким образом, угол между линиями равен \( \pi \) радианам.