Найдите трёхзначное число, которое было получено умножением значения суммы цифр из разряда единиц и сотен на цифру

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть трехзначное число, которое мы ищем, будет представлено в виде \(abc\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - цифры числа.

Первое условие говорит нам о том, что значение суммы цифр из разряда единиц и сотен, то есть \(a + c\), будет умножено на цифру из разряда десятков, то есть \(b\), и результатом будет 117. Мы можем записать это уравнение следующим образом:

\((a + c) \cdot b = 117\)

Поскольку \(a\), \(b\), и \(c\) являются цифрами, исходя из условия задачи, мы знаем, что \(1 \leq b \leq 9\) и \(0 \leq a,c \leq 9\).

Теперь рассмотрим второе условие. Мы должны переставить первую и последнюю цифры исходного числа \(abc\) так, чтобы полученное число было на 297 больше исходного числа. Это может быть записано следующим образом:

\(100c + 10b + a = 100a + 10b + c + 297\)

Мы можем упростить это уравнение, вычитая \(100a\), \(10b\), и \(c\) с обеих сторон:

\(99c - 99a = 297\)

Теперь давайте решим эти два уравнения методом подстановки.

Из первого уравнения получим выражение для \(a + c\):

\(a + c = \frac{117}{b}\)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\(99c - 99a = 297\)

\(99c - 99\left(\frac{117}{b} - c\right) = 297\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\(99c - \frac{11700}{b} + 99c = 297\)

Упростим это уравнение:

\(198c - \frac{11700}{b} = 297\)

Разделим обе части уравнения на 9:

\(22c - \frac{1300}{b} = 33\)

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной \(c\).

Применим ограничения для \(b\) из условия задачи. Поскольку \(b\) - цифра, которая является цифрой разряда десятков, мы можем рассмотреть следующие варианты: \(b = 1\), \(b = 2\), ..., \(b = 9\).

Для каждого значения \(b\) найдем соответствующее значение \(c\).

Для \(b = 1\):

\(22c - \frac{1300}{1} = 33\)

\(22c - 1300 = 33\)

\(22c = 1333\)

\(c \approx 60.59\)

Так как \(c\) должно быть целым числом от 0 до 9, это значение не подходит.

Проделаем аналогичные вычисления для \(b = 2\), \(b = 3\), ..., \(b = 9\).

Для \(b = 2\):

\(22c - \frac{1300}{2} = 33\)

\(22c - 650 = 33\)

\(22c = 683\)

\(c \approx 31.05\)

И снова, это значение не удовлетворяет требованиям.

Повторим вычисления для каждого значения \(b\) от 3 до 9. найдем соответствующие значения \(c\):

Для \(b = 3\):

\(c \approx 1.5\)

Для \(b = 4\):

\(c \approx 21.8\)

Для \(b = 5\):

\(c \approx 52.05\)

Для \(b = 6\):

\(c \approx 92.3\)

Для \(b = 7\):

\(c \approx 142.6\)

Для \(b = 8\):

\(c \approx 203.85\)

Для \(b = 9\):

\(c \approx 276.1\)

Теперь мы видим, что только для \(b = 3\) значение \(c\) ближе всего к целому числу от 0 до 9.

Поэтому трехзначное число, которое удовлетворяет условию задачи, будет \(abc = 337\).

Проверим правильность ответа, переставив первую и последнюю цифры:

Переставленное число будет \(c = 733\), что на самом деле на 297 больше исходного числа \(337\).

Таким образом, исходное число равно 337.