Каково значение cos(x/2-4pi), если cot(5pi/2+x) = sqrt(5/2), и x принадлежит интервалу (3pi/2, 2pi)?

Отлично, рассмотрим пошаговое решение данной задачи.

Шаг 1: Найдем значение \(x\) из уравнения \(\cot(\frac{5\pi}{2}+x) = \sqrt{\frac{5}{2}}\).

Дано, что \(x\) принадлежит интервалу \((\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\). Заметим, что \(\frac{5\pi}{2}+x\) также должно принадлежать этому интервалу.

Шаг 2: Решим уравнение \(\cot(\frac{5\pi}{2}+x) = \sqrt{\frac{5}{2}}\) для найденного значения \(\frac{5\pi}{2}+x\).

Для этого возьмем котангенс обеих частей уравнения:

\[\cot(\frac{5\pi}{2}+x) = \sqrt{\frac{5}{2}} \Rightarrow \frac{1}{\tan(\frac{5\pi}{2}+x)} = \sqrt{\frac{5}{2}}\]

Так как мы знаем, что \(\tan(\frac{5\pi}{2}+x)\) является положительным значением (т.к. котангенс равен положительному квадратному корню), мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

\[\frac{1}{\tan^2(\frac{5\pi}{2}+x)} = \frac{5}{2}\]

Теперь заменим \(\tan^2(\frac{5\pi}{2}+x)\) на \(\frac{1}{\cos^2(\frac{5\pi}{2}+x)}\) (так как \(\tan x = \frac{1}{\cot x}\)):

\[\frac{1}{\frac{1}{\cos^2(\frac{5\pi}{2}+x)}} = \frac{5}{2}\]

Упростим дробь:

\[\frac{\cos^2(\frac{5\pi}{2}+x)}{1} = \frac{5}{2} \Rightarrow \cos^2(\frac{5\pi}{2}+x) = \frac{5}{2}\]

Шаг 3: Решим уравнение \(\cos^2(\frac{5\pi}{2}+x) = \frac{5}{2}\) для найденного значения \(\frac{5\pi}{2}+x\).

Для этого возьмем квадратный корень обеих частей уравнения:

\[\cos(\frac{5\pi}{2}+x) = \sqrt{\frac{5}{2}}\]

Шаг 4: Найдем значение \(\cos(\frac{x}{2}-4\pi)\) с использованием полученного значения \(\cos(\frac{5\pi}{2}+x)\).

Используем формулу аргумента синуса:

\[\cos(\theta) = \cos(\pi-\theta)\]

Применим эту формулу к нашему уравнению:

\[\cos(\frac{5\pi}{2}+x) = \cos(\pi-(\frac{5\pi}{2}+x))\]

Упростим правую сторону уравнения:

\[\cos(\pi-(\frac{5\pi}{2}+x)) = \cos(\pi - \frac{5\pi}{2} - x) = \cos(-\frac{\pi}{2} - x)\]

Используем формулу косинуса суммы:

\[\cos(-\frac{\pi}{2} - x) = \cos(-\frac{\pi}{2}) \cdot \cos(x) + \sin(-\frac{\pi}{2}) \cdot \sin(x) = 0 \cdot \cos(x) + (-1) \cdot \sin(x) = -\sin(x)\]

Таким образом, \(\cos(\frac{x}{2}-4\pi) = -\sin(x)\) для \(\cot(\frac{5\pi}{2}+x) = \sqrt{\frac{5}{2}}\) и \(x\) принадлежащего интервалу \((\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\).