№1. Какая функция f(x) = 2x^2 + x имеет первообразную, график которой проходит через точку А(1;2)? №2. Найдите значение

Конечно! Давайте решим ваши задачи по очереди.

№1. Для того чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 2x^2 + x\), мы должны проинтегрировать данную функцию. Первообразная (интеграл) данной функции будет обозначаться как \(F(x)\).
Для интегрирования данной функции, применим правила интегрирования. Интеграл от \(x^n\) равен \(\frac{{x^{(n+1)}}}{{(n+1)}}\) + \(C\), где \(C\) - произвольная постоянная.
Используя это правило, найдем интеграл от \(2x^2 + x\):
\[\int (2x^2 + x) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\]
Таким образом, первообразная функции \(f(x) = 2x^2 + x\) равна \(\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\).

Для того чтобы найти значение произвольной постоянной \(C\), используем условие, что график функции проходит через точку А(1;2). Подставим значение \(x = 1\) и \(y = 2\) в первообразную функцию:
\[\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + C = 2\]
\[\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C = 2\]
Найдем значение \(C\) подставив числовые значения:
\[C = 2 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\]
Таким образом, первообразная функции \(f(x) = 2x^2 + x\) с графиком, проходящим через точку А(1;2), равна \(\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{6}\).

№2.

а) Для вычисления значения интеграла \(\int_{0}^{1} (2x^2 - 2) \, dx\), вычислим определенный интеграл данной функции. Вычитание чисел в правой границе интеграла соответствует вычитанию значения функции при \(x = 0\) из значения функции при \(x = 1\), обозначим это значение как \(I\):
\[I = \int_{0}^{1} (2x^2 - 2) \, dx = [(\frac{2}{3}x^3 - 2x)]_0^1 \]
Подставим значения \(x = 1\) и \(x = 0\) в эту формулу:
\[I = [(\frac{2}{3} \cdot (1)^3 - 2 \cdot (1))] - [(\frac{2}{3} \cdot (0)^3 - 2 \cdot (0))] \]
\[I = [(\frac{2}{3} - 2)] - [(0 - 0)] \]
\[I = [\frac{2}{3} - 2] - [0]\]
\[I = \frac{2}{3} - 2\]
\[I = \frac{2}{3} - \frac{6}{3}\]
\[I = -\frac{4}{3}\]
Таким образом, значение интеграла \(\int_{0}^{1} (2x^2 - 2) \, dx\) равно \(-\frac{4}{3}\).

б) Для вычисления значения интеграла \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(3x) \, dx\), сначала заметим, что интеграл от синуса равен \(-\frac{1}{3}\cos(3x)\). Теперь вычислим интеграл при \(x = \pi\) и \(x = -\pi\) и найдем разность значений. Обозначим это значение как \(J\):
\[J = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(3x) \, dx = [-\frac{1}{3}\cos(3x)]_{-\pi}^{\pi} \]
Подставим значения \(x = \pi\) и \(x = -\pi\) в эту формулу:
\[J = [-\frac{1}{3}\cos(3\pi)] - [-\frac{1}{3}\cos(-3\pi)] \]
\[J = [-\frac{1}{3}\cos(\pi)] - [-\frac{1}{3}\cos(\pi)] \]
\[J = [ -\frac{1}{3}\cos(\pi) + \frac{1}{3}\cos(\pi)]\]
\[J = 0\]

Таким образом, значение интеграла \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(3x) \, dx\) равно 0.

№3.

а) Для определения площади фигуры, ограниченной линиями \(y = (x+1)^2\), \(x = -2\), \(x = 1\) и осью \(Ox\), вычислим определенный интеграл от \(0\) до \(1\) функции \(y = (x+1)^2\). Такая площадь будет обозначаться как \(S\):
\[S = \int_{0}^{1} ((x+1)^2) \, dx\]

Сначала вычислим интеграл:
\[S = \int_{0}^{1} (x^2 + 2x + 1) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x]_{0}^{1} \]
Подставим значения \(x = 1\) и \(x = 0\) в эту формулу:
\[S = [\frac{1}{3} \cdot (1)^3 + (1)^2 + (1)] - [\frac{1}{3} \cdot (0)^3 + (0)^2 + (0)] \]
\[S = [\frac{1}{3} + 1 + 1] - [0 + 0 + 0] \]
\[S = \frac{1}{3} + 1 + 1 - 0\]
\[S = \frac{5}{3}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = (x+1)^2\), \(x = -2\), \(x = 1\) и осью \(Ox\), равна \(\frac{5}{3}\).

б) Построим график функции \(y = \frac{4}{x}\) при \(x > 0\) и параболы \(y = -x^2 + 4x + 1\) и найдем точки их пересечения для определения границы площади фигуры.

\[y = \frac{4}{x}\]
\[y = -x^2 + 4x + 1\]

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения.
\[\frac{4}{x} = -x^2 + 4x + 1\]

Умножим обе стороны на \(x\), чтобы избавиться от знаменателя.

\[4 = -x^3 + 4x^2 + x\]

Поместим все в одну сторону и запишем уравнение в стандартной форме.

\[x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0\]

Как видим, это кубическое уравнение, и его решение может быть достаточно сложным.
Теперь нам нужно найти точки пересечения графиков.
Чтобы найти границы площади, нам нужно найти корни этого уравнения и использовать их как границы для определенных интегралов.

Извините, я не могу решить это уравнение вручную так подробно и обоснованно, потому что требуется использовать численные методы или вычислительные инструменты.

Если у вас есть возможность использовать программное обеспечение для нахождения корней этого кубического уравнения, вы сможете найти точки пересечения и затем вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.