Найти сумму 21 члена в арифметической прогрессии, где пятый член равен 58 и двенадцатый равен

Чтобы найти сумму 21-го члена в арифметической прогрессии, нам необходимо знать формулу для нахождения суммы членов прогрессии и первый член прогрессии, а также разность прогрессии. В данном случае у нас только известны 5-й и 12-й члены прогрессии.

Для нахождения первого члена прогрессии (\(a_1\)) мы можем воспользоваться формулой:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(\ a_n\) - n-й член прогрессии, \(\ a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии и \(d\) - разность прогрессии.

Зная, что 5-й член (\(a_5\)) равен 58 и подставляя это в формулу, мы получаем:
\[58 = a_1 + (5-1)d\]
\[58 = a_1 + 4d\]

Аналогичным образом, используя информацию о 12-м члене (\(a_{12}\)) прогрессии, мы можем записать следующее уравнение:
\[a_{12} = a_1 + (12-1)d\]
\[a_{12} = a_1 + 11d\]

Имея два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(d\)), мы можем решить систему уравнений, используя метод подстановки или метод приведения к одному уравнению.

Давайте применим метод подстановки. Из первого уравнения мы можем найти \(a_1\):
\[a_1 = 58 - 4d\]

Подставим это значение во второе уравнение:
\[a_{12} = (58-4d) + 11d\]
\[a_{12} = 58 + 7d\]

Теперь у нас есть одно уравнение с одной неизвестной. Выразим разность прогрессии \(d\) через \(a_{12}\):
\[7d = a_{12} - 58\]
\[d = \frac{{a_{12} - 58}}{7}\]

Теперь, когда мы знаем значение разности прогрессии \(d\), мы можем найти первый член прогрессии \(a_1\), подставив его в первое уравнение:
\[a_1 = 58 - 4\left(\frac{{a_{12} - 58}}{7}\right)\]
\[a_1 = 58 - \frac{{4(a_{12} - 58)}}{7}\]
\[a_1 = 58 - \frac{{4a_{12} - 232}}{7}\]
\[a_1 = \frac{{406 - 4a_{12}}}{7}\]

Теперь у нас есть значения \(a_1\) и \(d\), и мы можем использовать формулу для нахождения суммы первых \(n\) членов прогрессии:
\[S_n = \frac{{n(a_1 + a_n)}}{2}\]

Мы хотим найти сумму первых 21 члена прогрессии, поэтому подставим в формулу значения \(a_1\) и \(a_{21} = a_1 + (21-1)d\) и рассчитаем сумму:
\[S_21 = \frac{{21\left(\frac{{406 - 4a_{12}}}{7} + (a_1 + 20d)\right)}}{2}\]

Теперь, чтобы полностью решить задачу и найти сумму 21-го члена, нам нужно знать значение \(a_{12}\). Если вы предоставите это значение, я смогу дать конечный ответ.