1. Как решить систему уравнений x-2y=1 и xy+y=12? 2. Если одна сторона прямоугольника больше другой на 7 см

1. Чтобы решить данную систему уравнений, мы можем воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания. Давайте воспользуемся методом сложения/вычитания.

У нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases}
x - 2y = 1 \\
xy + y = 12 \\
\end{cases} \]

Давайте решим первое уравнение относительно x. Прибавим 2y к обеим сторонам уравнения:
\[ x = 1 + 2y \]

Теперь мы можем заменить x во втором уравнении:
\[ (1 + 2y)y + y = 12 \]

Раскроем скобки:
\[ y + 2y^2 + y = 12 \]

Соберем все слагаемые с y:
\[ 2y^2 + 2y = 12 \]

Разделим обе стороны на 2:
\[ y^2 + y = 6 \]

Теперь мы получили квадратное уравнение. Приведем его к стандартной форме, где все слагаемые находятся на одной стороне, а другая сторона равна нулю:
\[ y^2 + y - 6 = 0 \]

Факторизуем его:
\[ (y + 3)(y - 2) = 0 \]

Теперь мы получили два возможных значения для y: y = -3 и y = 2.

Давайте подставим каждое значение y обратно в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения x.

При y = -3:
\[ x = 1 + 2(-3) = 1 - 6 = -5 \]

Таким образом, одно из решений системы уравнений - x = -5, y = -3.

При y = 2:
\[ x = 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5 \]

Таким образом, второе решение системы уравнений - x = 5, y = 2.

Итак, система уравнений имеет два решения: (-5, -3) и (5, 2).

2. Мы имеем прямоугольник, где одна сторона больше другой на 7 см, а диагональ равна 13 см. Давайте обозначим меньшую сторону прямоугольника как x см, тогда большая сторона будет (x + 7) см.

Используя теорему Пифагора, мы знаем, что квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин двух сторон.

Таким образом, у нас есть уравнение:
\[ x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \]

Раскроем скобки:
\[ x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169 \]

Соберем все слагаемые:
\[ 2x^2 + 14x + 49 = 169 \]

Перенесем 169 на другую сторону:
\[ 2x^2 + 14x - 120 = 0 \]

Теперь мы можем применить квадратное уравнение и решить его. Давайте поделим все коэффициенты на 2 для упрощения уравнения:
\[ x^2 + 7x - 60 = 0 \]

Теперь факторизуем его:
\[ (x - 5)(x + 12) = 0 \]

Итак, получаем два возможных значения для x: x = 5 и x = -12.

Мы ищем стороны прямоугольника, поэтому отрицательное значение не подходит.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, а большая сторона равна (5 + 7) = 12 см.

3. Чтобы найти точки пересечения окружности \(x^2 + y^2 = 5\) и прямой \(x + 3y = 7\), мы можем заменить переменные во втором уравнении с использованием выражения \(x = 7 - 3y\).

Подставив это значение x в уравнение окружности, мы получим:
\((7 - 3y)^2 + y^2 = 5\)

Раскроем скобки:
\(49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5\)

Соберем все слагаемые и приведем уравнение к квадратному виду:
\(10y^2 - 42y + 44 = 0\)

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или путем факторизации.

Вычислим дискриминант:
\(D = (-42)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 44 = 1764 - 1760 = 4\)

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня.

Применим формулу для нахождения корней:

\(y = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(y = \dfrac{42 \pm 2}{20}\)

Таким образом, мы получаем два возможных значения для y: \(y_1 = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}\) и \(y_2 = \dfrac{40}{20} = 2\).

Теперь давайте найдем соответствующие значения x, подставив каждое значение y в выражение \(x = 7 - 3y\).

Для \(y_1\):
\(x_1 = 7 - 3 \cdot \dfrac{1}{10} = 7 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{67}{10}\)

Для \(y_2\):
\(x_2 = 7 - 3 \cdot 2 = 7 - 6 = 1\)

Итак, точки пересечения окружности и прямой равны \(\left(\dfrac{67}{10}, \dfrac{1}{10}\right)\) и \((1, 2)\).

4. Чтобы изобразить множество решений системы неравенств \(x^2 + y^2 \leq 9\) и \(y - x \leq 1\) на координатной плоскости, мы можем использовать комбинацию графиков окружности и прямой.

Начнем с графика окружности \(x^2 + y^2 \leq 9\). Обратите внимание, что эта окружность имеет радиус 3 и центр в начале координат (0, 0). Для построения этой окружности можно выбрать несколько значений для x и вычислить соответствующие значения y.

Давайте возьмем значения x от -3 до 3 и найдем соответствующие значения y с использованием уравнения окружности \(x^2 + y^2 = 9\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & 0 \\
-2 & \pm\sqrt{5} \\
-1 & \pm\sqrt{8} \\
0 & \pm 3 \\
1 & \pm\sqrt{8} \\
2 & \pm\sqrt{5} \\
3 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, чтобы изобразить график прямой \(y - x \leq 1\), давайте представим ее в виде \(y = x + 1\). Отметим несколько значений для x и найдем соответствующие значения y:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & -2 \\
-2 & -1 \\
-1 & 0 \\
0 & 1 \\
1 & 2 \\
2 & 3 \\
3 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте построим графики окружности и прямой на координатной плоскости:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & 0 \\
-2 & \pm\sqrt{5} \\
-1 & \pm\sqrt{8} \\
0 & \pm 3 \\
1 & \pm\sqrt{8} \\
2 & \pm\sqrt{5} \\
3 & 0 \\
\hline
\end{array}
\\\\
\begin{array}{c}
\begin{array}{c|c}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & -2 \\
-2 & -1 \\
-1 & 0 \\
0 & 1 \\
1 & 2 \\
2 & 3 \\
3 & 4 \\
\hline
\end{array}
\\\\
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->] (-4,0) -- (4,0) node[anchor=north west] {x};
\draw[thick,->] (0,-4) -- (0,4) node[anchor=south east] {y};
\draw[blue!50,thick] (0,0) circle (3);
\draw[red!50,thick] (-3,-2) -- (4,3);
\filldraw[black] (3,0) circle (2pt) node[anchor=north] {3};
\filldraw[black] (-3,0) circle (2pt) node[anchor=north] {-3};
\filldraw[black] (0,3) circle (2pt) node[anchor=east] {3};
\filldraw[black] (0,-3) circle (2pt) node[anchor=east] {-3};
\filldraw[black] (2,-2) circle (2pt) node[anchor=west] {2};
\filldraw[black] (-2,2) circle (2pt) node[anchor=east] {-2};
\end{tikzpicture}
\end{array}
\end{array}
\end{array}
\]

Таким образом, множество решений системы неравенств \(x^2 + y^2 \leq 9\) и \(y - x \leq 1\) представляет собой закрашенную область, ограниченную окружностью и прямыми.

Я надеюсь, что данное объяснение и график помогли вам понять, как изобразить данное множество решений на координатной плоскости. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!