1. Если x меньше 45 градусов, то упрости выражение cos(3π2+x) и cos(3π2−x). 2. Если x меньше 45 градусов, то упрости

Хорошо! Давайте начнем с задачи номер 1.

1. Если \(x\) меньше 45 градусов, то упрости выражение \(\cos \left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\) и \(\cos \left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\).

Для упрощения этих выражений воспользуемся формулой сложения косинусов:

\[
\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
\]

Применим эту формулу к первому выражению:

\[
\cos \left(\frac{3\pi}{2}+x\right) = \cos\frac{3\pi}{2} \cos x - \sin\frac{3\pi}{2} \sin x
\]

Так как \(\cos \frac{3\pi}{2} = 0\) и \(\sin \frac{3\pi}{2} = -1\), получаем:

\[
\cos \left(\frac{3\pi}{2}+x\right) = 0 \cdot \cos x - (-1) \cdot \sin x = \sin x
\]

Теперь применим ту же формулу ко второму выражению:

\[
\cos \left(\frac{3\pi}{2}-x\right) = \cos\frac{3\pi}{2} \cos (-x) - \sin\frac{3\pi}{2} \sin (-x)
\]

Еще раз используем тот факт, что \(\cos \frac{3\pi}{2} = 0\) и \(\sin \frac{3\pi}{2} = -1\), и что \(\cos (-x) = \cos x\) и \(\sin (-x) = -\sin x\):

\[
\cos \left(\frac{3\pi}{2}-x\right) = 0 \cdot \cos x - (-1) \cdot (-\sin x) = -\sin x
\]

Таким образом, упрощенные выражения будут:

\[
\cos \left(\frac{3\pi}{2}+x\right) = \sin x
\]

\[
\cos \left(\frac{3\pi}{2}-x\right) = -\sin x
\]

Перейдем к задаче номер 2.

2. Если \(x\) меньше 45 градусов, то упрости выражения \(\tg(\pi+x)\) и \(\ctg(\pi-x)\).

Для упрощения этих выражений воспользуемся формулами тангенса и котангенса через синус и косинус:

\[
\tg(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}
\]

\[
\ctg(x) = \frac{{\cos(x)}}{{\sin(x)}}
\]

Применим эти формулы к первому выражению:

\[
\tg(\pi + x) = \frac{{\sin(\pi + x)}}{{\cos(\pi + x)}}
\]

Так как \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) и \(\cos(\pi + x) = -\cos x\), получаем:

\[
\tg(\pi + x) = \frac{{-\sin x}}{{-\cos x}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \tg(x)
\]

Теперь применим ту же формулу ко второму выражению:

\[
\ctg(\pi - x) = \frac{{\cos(\pi - x)}}{{\sin(\pi - x)}}
\]

Так как \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) и \(\sin(\pi - x) = \sin x\), получаем:

\[
\ctg(\pi - x) = \frac{{-\cos x}}{{\sin x}} = -\ctg(x)
\]

Таким образом, упрощенные выражения будут:

\[
\tg(\pi + x) = \tg(x)
\]

\[
\ctg(\pi - x) = -\ctg(x)
\]

Перейдем к задаче номер 3.

3. Вычисли значение тригонометрической функции \(\sin 135^\circ\) и выбери значение \(A\) из вариантов: \(3 - \sqrt{2}, 12, 2 - \sqrt{2}, 2 - \sqrt{3}\).

Первым шагом нужно определить, в какой координатной четверти находится угол 135 градусов. Так как данный угол превышает 90 градусов, он лежит в третьей четверти. В этой четверти значения синуса являются отрицательными.

Для нахождения значения нужно вспомнить, что в третьей четверти синус противоположен стороне прямоугольного треугольника, лежащей против угла в этой четверти. Отличное от 0 значение синуса будет равно отрицательному квадратному корню из 2, деленному на 2:

\[
\sin 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Таким образом, значение \(A\) будет \(2 - \sqrt{2}\).

Перейдем к задаче номер 4.

4. Какому из данных чисел равно значение выражения \(\cos 240^\circ\): \(-2 - \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}, -2 - \sqrt{2}, -12, -3 - \sqrt{3}, 2 - \sqrt{2}, 2 - \sqrt{3}, 3 - \sqrt{2}, -3 - \sqrt{2}, 12\)?

Для вычисления значения функции косинуса угла 240 градусов, воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций или вспомним, что косинус от угла 240 градусов является отрицательным значением второй стороны прямоугольного треугольника, лежащей при этом угле.

Из предложенных вариантов только \(-2 - \sqrt{3}\) является правильным ответом. Таким образом, значение выражения \(\cos 240^\circ\) равно \(-2 - \sqrt{3}\).

Наконец, перейдем к задаче номер 5.

5. Найди значение данного выражения \(\tg 315^\circ\) из вариантов: \(-1, -3 - \sqrt{3}, -3 - \sqrt{2}, -2\).

Для нахождения значения функции тангенса угла 315 градусов, можно воспользоваться таблицей значений тригонометрических функций. Или же, применим формулу:

\[
\tg \theta = \frac{{\sin \theta}}{{\cos \theta}}
\]

Так как 315 градусов находится в третьей четверти, значения синуса и косинуса будут отрицательными.

Заметим, что угол 315 градусов можно записать как \(360^\circ - 45^\circ\), что соответствует углу в первой четверти.

Таким образом, \(\tan 315^\circ = \tan (360^\circ - 45^\circ) = \tan 45^\circ\).

Значение тангенса угла 45 градусов известно и равно 1.

Из предложенных вариантов, только \(-1\) является правильным ответом. Таким образом, значение выражения \(\tg 315^\circ\) равно \(-1\).

Надеюсь, я сумел объяснить все шаги и ответы наглядно и понятно! Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать.