Введи ответ в виде несокращенной дроби для следующих уравнений: 1) sin α = 2

Для начала решим уравнение \( \sin \alpha = 2 \).

Однако, обратите внимание, что значение синуса угла не может быть больше 1. Поэтому данное уравнение не имеет решений в обычных действительных числах.

Теперь, если мы рассмотрим комплексные числа, то можно использовать расширенное определение синуса через экспоненциальную форму записи числа.

Для этого, представим комплексное число вида \( a + bi \) в экспоненциальной форме:

\[ a + bi = r \cdot e^{i \theta} \]

где \( r \) - модуль числа, \( \theta \) - его аргумент.

Рассмотрим угол синуса \( \alpha \):

\[ \sin \alpha = \frac{e^{i \alpha} - e^{-i \alpha}}{2i} \]

Очевидно, что значение синуса будет вещественным числом, поэтому заметим, что должно быть:

\[ e^{i \alpha} - e^{-i \alpha} = 2i \]

Решим это уравнение:

\[ e^{i \alpha} - e^{-i \alpha} = 2i \]
\[ e^{2i \alpha} - 1 = 2ie^{i \alpha} \]
\[ e^{2i \alpha} - 2ie^{i \alpha} - 1 = 0 \]

Полученное уравнение является квадратным относительно \( e^{i \alpha} \), заменим \( x = e^{i \alpha} \):

\[ x^2 - 2ix - 1 = 0 \]

Используя формулу решения квадратного уравнения, получим:

\[ x = \frac{2i \pm \sqrt{(-2i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} \]
\[ x = \frac{2i \pm \sqrt{-4i^2 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2i \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2i \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = i \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, получаем два значения \( x \): \( i + \sqrt{2} \) и \( i - \sqrt{2} \).

Теперь, найдем угол \( \alpha \).

Используем тригонометрическую форму комплексного числа:

\[ x = r \cdot e^{i \theta} \]
\[ i + \sqrt{2} = r \cdot e^{i \alpha} \]
\[ i - \sqrt{2} = r \cdot e^{-i \alpha} \]

Очевидно, что \( r = 1 \), поэтому:

\[ e^{i \alpha} = i + \sqrt{2} \]
\[ e^{-i \alpha} = i - \sqrt{2} \]

Используя формулу Эйлера \( e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \), получим:

\[ \cos \alpha + i \sin \alpha = i + \sqrt{2} \]
\[ \cos (-\alpha) + i \sin (-\alpha) = i - \sqrt{2} \]

Сравнивая действительные и мнимые части, получаем:

\[ \cos \alpha = 0 \]
\[ \sin \alpha = 1 \]
\[ \cos (-\alpha) = 0 \]
\[ \sin (-\alpha) = -1 \]

Отсюда следует, что возможны два значения угла \( \alpha \): \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) и \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) - целое число.

Итак, мы получили два набора значений для угла \( \alpha \):

\[ \alpha_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \]
\[ \alpha_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \]

Таким образом, несокращенные дроби для данного уравнения равны:

\[ \alpha_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \]
\[ \alpha_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \]

Где \( n \) - целое число.