Знайдіть розв язки системи рівнянь, в котрій застосовується операція додавання

Хорошо, давайте рассмотрим систему уравнений, где применяется операция сложения:

\[ \begin{cases}
x + y = 7 \\
2x + y = 10
\end{cases} \]

Чтобы найти решение этой системы уравнений, мы можем использовать метод сложения, также известный как метод исключения или метод прямого сложения.

Шаг 1: Преобразуем систему уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных были одинаковыми (или пропорциональными), чтобы мы могли сложить уравнения и устранить эту переменную.

Умножим первое уравнение на 2:

\[ \begin{cases}
2x + 2y = 14 \\
2x + y = 10
\end{cases} \]

Теперь мы можем сложить эти два уравнения, чтобы устранить переменную \(x\):

\[ (2x + 2y) + (2x + y) = 14 + 10 \]

\[ 4x + 3y = 24 \]

Шаг 2: Решим полученное уравнение относительно переменной \(y\):

\[ 4x + 3y = 24 \]

\[ 3y = 24 - 4x \]

\[ y = \frac{24 - 4x}{3} \]

Шаг 3: Подставим найденное значение \(y\) в одно из исходных уравнений, чтобы найти значение \(x\):

\[ x + y = 7 \]

\[ x + \frac{24 - 4x}{3} = 7 \]

Упростим уравнение:

\[ 3x + 24 - 4x = 21 \]

\[ -x + 24 = 21 \]

\[ -x = 21 - 24 \]

\[ -x = -3 \]

\[ x = 3 \]

Шаг 4: Подставим найденное значение \(x\) обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти значение \(y\):

\[ x + y = 7 \]

\[ 3 + y = 7 \]

\[ y = 7 - 3 \]

\[ y = 4 \]

Таким образом, решение данной системы уравнений состоит из двух чисел: \(x = 3\) и \(y = 4\).

При проверке можно заметить, что если подставить \(x = 3\) и \(y = 4\) в оба исходных уравнения, они будут выполняться:

\[ x + y = 3 + 4 = 7 \]
\[ 2x + y = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10 \]

В результате, полученные значения являются решениями данной системы уравнений, где используется операция сложения.