Знайдіть первісну функцію f(x)=3x^2-4x+5, графік якої проходить через точку a з координатами (x_a

, y_a).

Для того чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\), мы должны найти функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\).

Итак, мы знаем, что производная константы равна нулю. Это означает, что для поиска первообразной функции \(F(x)\) нам придется найти первообразные функций \(3x^2\), \(-4x\) и \(5\) по отдельности.

Начнем с первого слагаемого: \(3x^2\). Чтобы найти первообразную этой функции, мы используем правило степенной функции, которое гласит, что для функции \(x^n\) первообразной будет \(\frac{{x^{n+1}}}{{n+1}}\). Применяя это правило, мы получаем:

\[
\int{3x^2 \, dx} = \frac{3}{3}x^{2 + 1} + C_1 = x^3 + C_1
\]

Затем рассмотрим второе слагаемое: \(-4x\). Первообразной для этой функции будет функция, производная которой дает \(-4x\). Поскольку производная функции \(x\) равна 1, мы можем записать:

\[
\int{-4x \, dx} = -4 \int{x \, dx} = -4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C_2 = -2x^2 + C_2
\]

Наконец, рассмотрим последнее слагаемое: \(5\). Так как это просто константа, первообразная для этой функции будет равняться \(5x\).

Теперь, сложим все полученные первообразные, чтобы получить искомую первообразную функцию \(F(x)\):

\[
F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C
\]

Где \(C = C_1 + C_2\) является константой интегрирования.

Таким образом, мы нашли первообразную функции \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\), которая проходит через точку \(a\) с координатами \((x_a, y_a)\).