Завдання 8. Дано функцію f (x) =b^2-4bx-32x^3, де b-стала. 1) Знайдіть загальний вигляд первісних для цієї функції

Щоб знайти загальний вигляд первісних для функції \(f(x) = b^2 - 4bx - 32x^3\), ми вирахуємо первісну \(F(x)\). Прикмітка, первісна функції є функцією, похідна якої дає дану функцію.

1) Давайте почнемо з обчислення первісної функції \(F(x)\):
\[F(x) = \int f(x) \, dx = \int (b^2 - 4bx - 32x^3) \, dx\]

Для обчислення первісної, нам потрібно зробити інтегрування кожного члена окремо. За допомогою формул інтегрування, отримуємо:

\[\begin{align*}
F(x) &= \int (b^2 - 4bx - 32x^3) \, dx \\
&= \int b^2 \, dx - \int 4bx \, dx - \int 32x^3 \, dx \\
&= b^2 \int dx - 4b \int x \, dx - 32 \int x^3 \, dx \\
&= b^2x - 4bx^2 - 32 \cdot \frac{{x^4}}{4} + C \\
&= b^2x - 4bx^2 - 8x^4 + C
\end{align*}\]

Таким чином, загальний вигляд первісних для даної функції \(f(x) = b^2 - 4bx - 32x^3\) виглядає наступним чином: \[F(x) = b^2x - 4bx^2 - 8x^4 + C,\] де \(C\) є довільною постійною.

2) Для знаходження всіх значень \(b\), при яких нерівність має місце, ми можемо розглянути похідну функції \(f(x)\) і визначити, коли вона менше за нуль. Прикмітка, функція є влаштованою, коли її похідна менша за нуль, тобто \(\frac{{df}}{{dx}} < 0\).

Давайте обчислимо похідну функції за допомогою правил диференціювання:

\[\begin{align*}
\frac{{df}}{{dx}} &= \frac{{d}}{{dx}} (b^2 - 4bx - 32x^3) \\
&= 0 - 4b - 96x^2 \\
&= -4b - 96x^2
\end{align*}\]

Тепер, ми можемо встановити нерівність:
\[-4b - 96x^2 < 0\]

Щоб знайти значення \(b\), при яких нерівність має місце, ми повинні вирішити цю нерівність щодо \(b\).

\[-4b - 96x^2 < 0\]

Для спрощення обчислень відносимо \(96x^2\) до лівої сторони:

\[-4b < 96x^2\]

Тепер, розділимо обидві частини на -4 з метою зміни знака:

\[b > -24x^2\]

Таким чином, \[\boxed{b \in (-\infty, -24x^2)}\] є множина всіх значень \(b\), при яких нерівність \(f(x) = b^2 - 4bx - 32x^3\) має місце.