Заранее. Перепишите самостоятельную работу по комбинаторике: 1. Сколько возможностей записать восьмизначные числа

Конечно! Давайте решим каждую задачу поочередно:

1. В задаче нам нужно найти количество возможных восьмизначных чисел без повторения, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Мы можем использовать перестановки, так как порядок цифр имеет значение. Формула для перестановок без повторений выглядит так:

\[P(n) = n!\]

Где \(n\) - количество объектов, которые мы переставляем. В нашем случае \(n = 8\).

Подставляем значения в формулу:

\[P(8) = 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320\]

Таким образом, количество возможностей записать восьмизначные числа без повторения - 40320.

2. У нас есть 12 членов правления кооператива, и нам нужно выбрать председателя, казначея и секретаря. Поскольку порядок, в котором мы выбираем роли, не имеет значения, нам поможет формула для сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где \(n\) - общее количество объектов, \(k\) - количество объектов, которое мы выбираем.

Подставляем значения в формулу:

\[C(12, 3) = \frac{{12!}}{{3! \cdot (12-3)!}} = \frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}}{{3! \cdot 9!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10}}{{3!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 220\]

Таким образом, количество комбинаций для выбора председателя, казначея и секретаря из 12 членов правления кооператива - 220.

3. У нас есть 5 разных авторучек и 6 разных блокнотов, и нам нужно выбрать 3 авторучки и 2 блокнота для подарков. Так как порядок выбранных предметов не имеет значения, нам поможет формула для сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где \(n\) - общее количество объектов, \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем.

Подставляем значения в формулу:

\[C(5, 3) \cdot C(6, 2) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5-3)!}} \cdot \frac{{6!}}{{2! \cdot (6-2)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} \cdot \frac{{6!}}{{2! \cdot 4!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 2 \cdot 1}} \cdot \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{2! \cdot 1 \cdot 4!}} = 10 \cdot 15 = 150\]

Таким образом, количество способов выбрать 3 авторучки и 2 блокнота для подарков - 150.

4. Проведем вычисления по данным формулам:

а) Вычислим значение \(p^9\):

\[ p^9 = p \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p \]

б) Вычислим значение \(\binom{a}{5}\), где \(a = 9\):

\[\binom{9}{5} = \frac{{9!}}{{5! \cdot (9-5)!}} = \frac{{9!}}{{5! \cdot 4!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 4!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{4!}} = 126\]

в) Не указана формула для \(в\). Пожалуйста, уточните формулу, и я смогу выполнить вычисления.

Надеюсь, эти подробные и исчерпывающие ответы помогут Вам лучше понять комбинаторику и выполнить самостоятельную работу. Если у Вас возникнут еще вопросы, я всегда готов помочь!