Заполни пробелы, описав функцию у=12х^2+2х^3 Функция увеличивается f′(x)> __ когда xϵ(−∞;__]ᴗ[__

Предлагаю вам выполнить задачу, заполнив пробелы поочередно. Для начала, нам нужно найти производную функции \( y = 12x^2 + 2x^3 \). Для этого применим правило дифференцирования для суммы и произведения функций.

1. Вычислим производную первого слагаемого \( 12x^2 \). Для этого используем правило дифференцирования степенной функции: умножаем показатель степени на коэффициент и уменьшаем показатель степени на 1. Итак, \( \frac{d}{dx}(12x^2) = 2 \cdot 12x^{2-1} = 24x \).
2. Теперь найдем производную второго слагаемого \( 2x^3 \). Опять же используем правило дифференцирования степенной функции: умножаем показатель степени на коэффициент и уменьшаем показатель степени на 1. Имеем \( \frac{d}{dx}(2x^3) = 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2 \).

На этом этапе мы нашли производные двух слагаемых. Теперь объединим их, чтобы найти производную функции \( y \).

3. Производная функции \( y \) будет суммой производных слагаемых. То есть \( f"(x) = 24x + 6x^2 \).

Теперь перейдем ко второй части задания, где нужно определить интервалы, на которых функция увеличивается (\( f"(x) > \_\_ \)).

4. Наша задача состоит в определении значений, при которых производная \( f"(x) \) положительна. Производная положительна, когда значение больше нуля. То есть нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f"(x) > 0 \).

5. Если мы рассмотрим производную \( f"(x) = 24x + 6x^2 \), то мы можем заметить, что она представляет собой квадратичную функцию (так как имеется слагаемое \( 6x^2 \)). Квадратичная функция имеет пары корней: один корень, при котором производная равна нулю, и второй корень, при котором производная меняет знак.

6. Для нашей функции \( f"(x) \) нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f"(x) = 0 \). Для этого решим квадратное уравнение \( 24x + 6x^2 = 0 \) и найдем корни. Решение этого уравнения приводит к двум корням: \( x = 0 \) и \( x = -4 \).

Теперь, когда мы нашли корни квадратного уравнения, можем ответить на вторую часть вопроса:

Функция \( y = 12x^2 + 2x^3 \) увеличивается при \( x \) из интервала \( (-4, 0) \). Это значит, что если \( x \) принадлежит открытому интервалу \( (-4, 0) \), то функция \( y \) будет расти.

Пожалуйста, обратите внимание, что найденные значения интервала не включены в решение, так как мы искали интервал, при котором производная положительна (\( f"(x) > 0 \)), а не положительное значение самой функции (\( y > 0 \)).

Надеюсь, это пояснение помогло вам понять задачу и ее решение. Если у вас есть еще вопросы или что-то неясно - обращайтесь!