Сколько выступлений могло быть, если все философы участвовали в обсуждении докладов, некоторые выступали дважды

Понятие, которое нам понадобится для решения этой задачи, называется китайской теоремой об остатках. Она гласит, что если даны наборы чисел \( m_1, m_2, ..., m_n \) и соответствующие остатки \( a_1, a_2, ..., a_n \) при делении на эти числа, причем все \( m_i \) попарно взаимно просты, то существует некоторое число \( x \), которое при делении на каждое из \( m_i \) даёт остаток \( a_i \).

В задаче у нас есть 4 числа - 2, 3, 7 и 9. Мы хотим найти количество выступлений, удовлетворяющее условиям задачи. Поэтому мы будем рассматривать каждое из этих чисел по отдельности.

1. Для числа 2:
- Остаток 1 при делении на 2 - это любое нечётное число, так как нечётное число плюс 1 даёт чётное число, а чётное число при делении на 2 даёт остаток 0.
- Данное условие выполняется для нескольких чисел.

2. Для числа 3:
- Остаток 1 при делении на 3 - это любое число вида \(3k+1\).
- Данное условие выполняется для нескольких чисел.

3. Для числа 7:
- Остаток 1 при делении на 7 - это любое число вида \(7k+1\).
- Данное условие выполняется для нескольких чисел.

4. Для числа 9:
- Остаток 1 при делении на 9 - это любое число вида \(9k+1\).
- Данное условие выполняется для нескольких чисел.

Поскольку мы ищем число, которое дает остаток 1 при делении на ВСЕ эти числа, нам нужно найти их пересечение.

Пересечение всех этих множеств можно найти, выбирая для каждого числа наименьшее возможное число, удовлетворяющее условию.

Для числа 2 мы имеем \(\{1, 3, 5, ...\}\).
Для числа 3 мы имеем \(\{1, 4, 7, 10, ...\}\).
Для числа 7 мы имеем \(\{1, 8, 15, ...\}\).
Для числа 9 мы имеем \(\{1, 10, 19, ...\}\).

Минимальным числом из каждого множества будет число 1. Но это число не удовлетворяет условию, что все философы должны участвовать в обсуждении докладов, и некоторые должны выступать дважды. Поэтому мы ищем следующее минимальное число после 1.

После некоторых вычислений мы находим, что следующее минимальное число после 1, удовлетворяющее всем условиям, равно 61. Это значит, что всего могло быть 61 выступление.

Обоснование:
- Число 61 при делении на 2 даёт остаток 1, так как \(61 = 30 \times 2 + 1\).
- Число 61 при делении на 3 даёт остаток 1, так как \(61 = 20 \times 3 + 1\).
- Число 61 при делении на 7 даёт остаток 1, так как \(61 = 8 \times 7 + 5\).
- Число 61 при делении на 9 даёт остаток 1, так как \(61 = 6 \times 9 + 7\).

Таким образом, на самом деле могло быть 61 выступление при таких условиях.