Задание. Дано. Треугольник АВС имеет вершины А(2;-3;0), В(4;3;6), С(0;-1;-2). Необходимо найти: 1. Каковы координаты

Хорошо, рассмотрим данные задачи по порядку. Для начала найдем координаты всех векторов.

1. Координаты вектора AB рассчитываются как разность координат точек B и A:
\[\overrightarrow{AB} = (4; 3; 6) - (2; -3; 0) = (2; 6; 6).\]

Координаты вектора AC рассчитываются как разность координат точек C и A:
\[\overrightarrow{AC} = (0; -1; -2) - (2; -3; 0) = (-2; 2; -2).\]

Координаты вектора BC рассчитываются как разность координат точек C и B:
\[\overrightarrow{BC} = (0; -1; -2) - (4; 3; 6) = (-4; -4; -8).\]

2. Чтобы найти периметр треугольника ABC, нужно вычислить длины всех его сторон и просуммировать их. Для нахождения длины вектора используется формула:
\[|\overrightarrow{XY}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2},\]
где \(\overrightarrow{XY}\) - это вектор с началом в точке X и концом в точке Y.

Для нашего треугольника:

Длина стороны AB:
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - (-3))^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}.\]

Длина стороны AC:
\[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.\]

Длина стороны BC:
\[|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-1 - 3)^2 + (-2 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}.\]

Теперь сложим длины всех сторон:
\[P_{ABC} = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{BC}| = 2\sqrt{19} + 2\sqrt{3} + 4\sqrt{6}.\]

3. Чтобы найти косинусы углов треугольника ABC, воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами:
\[\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{XY} \cdot \overrightarrow{XZ}}}{{|\overrightarrow{XY}| \cdot |\overrightarrow{XZ}|}},\]
где \(\overrightarrow{XY}\) и \(\overrightarrow{XZ}\) - это векторы, образующие угол \(\theta\), а \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов.

Для нашего треугольника:

Косинус угла ABC:
\[\cos(\angle ABC) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}} = \frac{{(2; 6; 6) \cdot (-2; 2; -2)}}{{2\sqrt{19} \cdot 2\sqrt{3}}}.\]

Косинус угла BAC:
\[\cos(\angle BAC) = \frac{{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}} = \frac{{(-2; -6; -6) \cdot (-4; -4; -8)}}{{2\sqrt{19} \cdot 4\sqrt{6}}}.\]

Косинус угла BCA:
\[\cos(\angle BCA) = \frac{{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}}}{{|\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{BA}|}} = \frac{{(-4; -4; -8) \cdot (-2; -6; -6)}}{{4\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{19}}}.\]

4. Чтобы найти координаты середин сторон треугольника, нужно посчитать среднее арифметическое координат точек, образующих каждую сторону.

Для нашего треугольника:

Координаты середины стороны AB:
\[\left(\frac{{x_A + x_B}}{2}; \frac{{y_A + y_B}}{2}; \frac{{z_A + z_B}}{2}\right) = \left(\frac{{2 + 4}}{2}; \frac{{-3 + 3}}{2}; \frac{{0 + 6}}{2}\right) = (3; 0; 3).\]

Координаты середины стороны AC:
\[\left(\frac{{x_A + x_C}}{2}; \frac{{y_A + y_C}}{2}; \frac{{z_A + z_C}}{2}\right) = \left(\frac{{2 + 0}}{2}; \frac{{-3 + (-1)}}{2}; \frac{{0 + (-2)}}{2}\right) = (1; -2; -1).\]

Координаты середины стороны BC:
\[\left(\frac{{x_B + x_C}}{2}; \frac{{y_B + y_C}}{2}; \frac{{z_B + z_C}}{2}\right) = \left(\frac{{4 + 0}}{2}; \frac{{3 + (-1)}}{2}; \frac{{6 + (-2)}}{2}\right) = (2; 1; 2).\]

Таким образом, ответы на все вопросы задачи:

1. Координаты всех векторов:
\(\overrightarrow{AB} = (2; 6; 6),\)
\(\overrightarrow{AC} = (-2; 2; -2),\)
\(\overrightarrow{BC} = (-4; -4; -8).\)

2. Периметр треугольника ABC:
\(P_{ABC} = 2\sqrt{19} + 2\sqrt{3} + 4\sqrt{6}.\)

3. Косинусы углов треугольника ABC:
\(\cos(\angle ABC) = \frac{{(2; 6; 6) \cdot (-2; 2; -2)}}{{2\sqrt{19} \cdot 2\sqrt{3}}},\)
\(\cos(\angle BAC) = \frac{{(-2; -6; -6) \cdot (-4; -4; -8)}}{{2\sqrt{19} \cdot 4\sqrt{6}}},\)
\(\cos(\angle BCA) = \frac{{(-4; -4; -8) \cdot (-2; -6; -6)}}{{4\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{19}}}.\)

4. Координаты середин сторон треугольника:
Середина стороны AB: (3; 0; 3),
Середина стороны AC: (1; -2; -1),
Середина стороны BC: (2; 1; 2).