Какая точка является точкой минимума функции f(x)=x^3-13x^2-9x+2?

Для нахождения точки минимума функции f(x) = x^3 - 13x^2 - 9x + 2, мы можем использовать процесс дифференцирования функции. Дифференцирование позволяет нам найти точки экстремума функции, включая минимумы и максимумы.

Шаг 1: Дифференцируем функцию f(x) по переменной x.

Дифференцируя функцию f(x), мы получим:

f"(x) = 3x^2 - 26x - 9

Шаг 2: Решаем уравнение f"(x) = 0 для нахождения точек экстремума.

Уравнение f"(x) = 0 соответствует условию, при котором производная функции равна нулю. Решим это уравнение:

3x^2 - 26x - 9 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или другие методы решения уравнений второй степени. Проведя вычисления, мы найдем два значения x: x1 и x2.

x1 ≈ -0.233
x2 ≈ 9.233

Шаг 3: Чтобы определить, какая из найденных точек минимум и какая - максимум, проанализируем вторую производную функции.

Дифференцируем уравнение f"(x) = 3x^2 - 26x - 9 и найдем f""(x):

f""(x) = 6x - 26

Шаг 4: Определяем, при каких значениях x функция f(x) имеет минимум.

Мы знаем, что для точки экстремума производная должна равняться нулю. Поэтому, чтобы определить, является ли данная точка минимумом или максимумом, мы проверим знак второй производной функции.

Подставим найденные значения x1 и x2 в уравнение f""(x):

f""(x1) ≈ -27.399
f""(x2) ≈ 35.399

Знак второй производной фиксируется ниже:

f""(x1) < 0 (отрицательный) - x1 - точка максимума
f""(x2) > 0 (положительный) - x2 - точка минимума

Таким образом, точка x2 ≈ 9.233 является точкой минимума функции f(x) = x^3 - 13x^2 - 9x + 2.

Шаг 5: Найдем значение функции в точке минимума.

Чтобы найти значение функции в найденной точке минимума, подставим x2 = 9.233 в исходную функцию:

f(9.233) = (9.233)^3 - 13(9.233)^2 - 9(9.233) + 2 ≈ -413.271

Таким образом, точка минимума функции f(x) = x^3 - 13x^2 - 9x + 2 находится при x ≈ 9.233 и f(x) ≈ -413.271.