ЗА РЕШЕНИЕ С ЧЕРТЕЖАМИ 1) В треугольной пирамиде SABC, где O - точка пересечения медиан основания ABC, требуется

Задача 1:
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами медиан треугольника.

1) Построим медиану OD треугольника ABC, проходящую через вершину S и точку O (точку пересечения медиан основания ABC).


2) Поскольку медиана OD треугольника ABC делит сторону SC в соотношении 2:1 (в соответствии с свойствами медиан), обозначим отрезок SD как \( x \) и отрезок DS как \( 2x \).


3) Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую AB и середину M ребра SC. Обозначим точку пересечения этой плоскости и прямой SO как E.


4) Докажем, что отрезок SO делится этой плоскостью в соотношении 3:1 от вершины S.

5) Поскольку OD - медиана треугольника ABC, точка E - середина отрезка OD (по свойству медиан).

6) Также, поскольку E - середина отрезка OM, то EO делит отрезок SO на две равные части.

7) Теперь обратимся к треугольнику SOD. Мы уже знаем, что отрезок SD равен \( x \), значит, отрезок SO равен \( 3x \).

8) Получается, что плоскость, проходящая через прямую AB и середину M ребра SC, действительно делит отрезок SO в соотношении 3:1 от вершины S.

Задача 2:
Для решения этой задачи мы построим плоскость, проходящую через прямую AB и середину высоты SH пирамиды (точку, обозначенную как K), и найдем угол между прямой BK и плоскостью ASB.

1) Построим прямую BK и плоскость, проходящую через прямую AB и точку K.


2) Для нахождения угла между прямой BK и плоскостью ASB рассмотрим треугольник ASB и прямую BK.

3) Поскольку пирамида SABCDEF является правильной шестиугольной пирамидой, все ее боковые грани будут равносторонними треугольниками.


4) Таким образом, угол между прямой BK и плоскостью ASB будет равен углу между боковой гранью SAB и плоскостью ASB.

5) Поскольку боковая грань SAB является равносторонним треугольником, сторона AB будет равна стороне AS.

6) Если AB : AS = k, то сторона AB будет равна k и сторона AS также будет равна k.

7) В связи с этим, угол между прямой BK и плоскостью ASB будет равен углу между боковой гранью SAB и плоскостью ASB, что равно \(60^\circ\) в случае правильной шестиугольной пирамиды.

Таким образом, мы построили сечение пирамиды плоскостью и нашли угол между прямой BK и плоскостью ASB.