Являются ли десятичные дроби рациональными числами? 1,274645...; 2,(453); 78,3; 4,56(3); 23,345(7); 2,45...; 5,86

Десятичные дроби являются рациональными числами, если они могут быть представлены в виде обыкновенной дроби \( \frac{p}{q} \), где \( p \) и \( q \) - целые числа, а \( q \neq 0 \).

Давайте рассмотрим каждую десятичную дробь из задачи и определим, является ли она рациональным числом.

1) 1,274645...:
Данная десятичная дробь не имеет периода и продолжается бесконечно. Мы можем представить ее в виде рациональной дроби \( \frac{p}{q} \). Так как она не ограничена периодом, можно сказать, что данная дробь является иррациональным числом.

2) 2,(453):
В данной десятичной дроби период - числа после запятой в скобках. Для представления ее в виде рациональной дроби, мы должны определить числа, составляющие период и учесть его ограниченность. Таким образом, дробь \( 2,\overline{453} \) будет являться рациональным числом.

3) 78,3:
Данная десятичная дробь не имеет периода и не продолжается бесконечно. Мы можем представить ее в виде рациональной дроби \( \frac{783}{10} \), поэтому она является рациональным числом.

4) 4,56(3):
В данной десятичной дроби период - цифра 3, повторяющаяся после запятой. Мы можем представить ее в виде рациональной дроби \( \frac{4\,56}{99} \), поэтому она является рациональным числом.

5) 23,345(7):
В данной десятичной дроби период - цифра 7, повторяющаяся после запятой. Мы можем представить ее в виде рациональной дроби \( \frac{23345\,7}{99990} \), поэтому она является рациональным числом.

6) 2,45...:
Данная десятичная дробь не имеет периода и продолжается бесконечно. Мы можем представить ее в виде рациональной дроби \( \frac{49}{20} \), поэтому она является рациональным числом.

7) 5,86:
Данная десятичная дробь не имеет периода и не продолжается бесконечно. Мы можем представить ее в виде рациональной дроби \( \frac{586}{100} \), поэтому она является рациональным числом.

8) 32,0504:
Данная десятичная дробь не имеет периода и не продолжается бесконечно. Мы можем представить ее в виде рациональной дроби \( \frac{320504}{10000} \), поэтому она является рациональным числом.

Теперь давайте рассмотрим вопрос о представлении числа в виде периодической десятичной дроби и обыкновенной дроби.

Чтобы представить рациональное число в виде периодической десятичной дроби, мы должны найти период - цифры, которые повторяются бесконечно после запятой. Затем мы пишем эти цифры в скобках после запятой.

Например, для числа \( \frac{1}{3} \), периодическая десятичная дробь будет выглядеть как 0,(3). Здесь цифра 3 повторяется бесконечно.

Теперь давайте рассмотрим, как записать периодическую дробь 0,(87) в виде обыкновенной дроби.

Для этого мы предполагаем, что х отличается всего на 1 единицу от самого числа, и затем умножаем данное число на 100 (или нужное число нулей, если дробь имеет более одной цифры до запятой). Затем вычитаем первоначальное число:

\[ x = 0,(87) \]
\[ 100x = 87,(87) \]
\[ 100x - x = 87,(87) - 0,(87) \]
\[ 99x = 87 \]
\[ x = \frac{87}{99} \]

Таким образом, периодическая дробь 0,(87) может быть записана в виде обыкновенной дроби \( \frac{87}{99} \).

Теперь давайте перейдем к выражению \( \sqrt{2} - \pi \) и определим, является ли оно рациональным или иррациональным числом.

Так как и \( \sqrt{2} \) и \( \pi \) являются иррациональными числами, выражение \( \sqrt{2} - \pi \) также будет являться иррациональным числом.

Наконец, давайте рассмотрим задачу о приближенных значениях с точностью до 0,01.

а) Чтобы приближенно вычислить выражение \( \sqrt{2} + \frac{\pi}{4} \) с точностью до 0,01, у нас есть несколько способов. Один из них - использование аппроксимации. Мы знаем, что \( \sqrt{2} \approx 1.41 \) и \( \pi \approx 3.14 \). Подставляя эти значения в выражение:

\[ \sqrt{2} + \frac{\pi}{4} \approx 1.41 + \frac{3.14}{4} \approx 1.41 + 0.785 \approx 2.195 \]

Таким образом, приближенное значение выражения \( \sqrt{2} + \frac{\pi}{4} \) с точностью до 0,01 будет около 2.195.

б) Точно так же, для выражения \( \frac{5}{9} - \frac{2}{7} \), мы можем использовать приближенные значения. Переведем обе дроби в десятичные числа:

\[ \frac{5}{9} \approx 0.555 \]
\[ \frac{2}{7} \approx 0.2857 \]

Подставляя эти значения в выражение:

\[ \frac{5}{9} - \frac{2}{7} \approx 0.555 - 0.2857 \approx 0.2693 \]

Таким образом, приближенное значение выражения \( \frac{5}{9} - \frac{2}{7} \) с точностью до 0,01 будет около 0.2693.

Надеюсь, эти объяснения помогут вам понять задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!