A) Найдите решение данного уравнения: 2log4^2(4sinx)-3log4(sinx)-2=0 Б) Определите все значения переменной x, которые

Хорошо, давайте решим это уравнение пошагово.

A) Найдите решение уравнения: \(2\log_{4^2}(4\sin(x))-3\log_4(\sin(x))-2=0\)

Для начала, заметим, что \(\log_{4^2}(4\sin(x))\) можно переписать как \(\frac{\log_4(4\sin(x))}{\log_4(4^2)}\). Тогда наше уравнение примет вид:

\[2\cdot \frac{\log_4(4\sin(x))}{\log_4(4^2)} - 3\log_4(\sin(x))-2=0\]

Чтобы продолжить, мы должны выразить \(\log_4(\sin(x))\) через \(\log_4(4\sin(x))\). Для этого воспользуемся свойством логарифма:

\(\log_b(a^n) = n\cdot\log_b(a)\)

Применим это свойство к \(\log_4(4\sin(x))\), где \(a=4\sin(x)\) и \(n=1\):

\[\log_4(4\sin(x)) = \log_4((4\sin(x))^1) = 1\cdot \log_4(4\sin(x))\]

Теперь заменим \(\log_4(\sin(x))\) в исходном уравнении и продолжим его решение:

\[2\cdot \frac{1\cdot\log_4(4\sin(x))}{\log_4(4^2)} - 3\cdot(1\cdot\log_4(\sin(x)))-2=0\]

Далее, заметим, что \(\log_4(4^2)\) равняется 2, так как \(\log_b(b^c)=c\):

\[2\cdot \frac{1\cdot\log_4(4\sin(x))}{2} - 3\cdot\log_4(\sin(x)) - 2 = 0\]

Упростим это выражение:

\[\frac{\log_4(4\sin(x))}{1} - 3\cdot\log_4(\sin(x)) - 2 = 0\]

\[\log_4(4\sin(x)) - 3\cdot\log_4(\sin(x)) - 2 = 0\]

Давайте объединим все логарифмы с основанием 4:

\[\log_4(4\sin(x)) - \log_4((\sin(x))^3) - 2 = 0\]

Применим правило логарифма:

\(\log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right)\)

\[\log_4\left(\frac{4\sin(x)}{(\sin(x))^3}\right) - 2 = 0\]

Для упрощения дроби в скобках, мы можем использовать следующее свойство тригонометрии:

\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)

Следовательно, \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\). Заменив в нашем случае \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\):

\[\log_4\left(\frac{4\sin(x)}{(\sin(x))^3}\right) - 2 = 0\]
\[\log_4\left(\frac{4\sin(x)}{\sin^3(x)}\right) - 2 = 0\]
\[\log_4\left(\frac{4}{\sin^2(x)}\right) - 2 = 0\]
\[\log_4\left(\frac{4}{1 - \cos^2(x)}\right) - 2 = 0\]

Используем свойство логарифма:

\(\log_b\left(\frac{1}{a}\right) = -\log_b(a)\)

\[-\log_4\left(1 - \cos^2(x)\right) - 2 = 0\]

Снова объединим логарифмы с основанием 4:

\(\log_4(a) - \log_4(b) = \log_4\left(\frac{a}{b}\right)\)

\[\log_4\left(\frac{1}{1 - \cos^2(x)}\right) - 2 = 0\]

Теперь, применим обратное свойство логарифма:

\(\log_b(a) = c\) эквивалентно \(b^c = a\)

\[\frac{1}{1 - \cos^2(x)} = 4^2\]

Упростим это выражение:

\[\frac{1}{1 - \cos^2(x)} = 16\]

Заметим, что \(1 - \cos^2(x)\) равняется \(\sin^2(x)\), воспользовавшись тождеством \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[\frac{1}{\sin^2(x)} = 16\]

Теперь возьмем обратное значение от каждой стороны:

\[\sin^2(x) = \frac{1}{16}\]

Корень квадратный обеих сторон даст нам:

\[\sin(x) = \pm\frac{1}{4}\]

Так как мы ищем значения \(x\) в интервале от \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{4}\), мы должны отбросить отрицательное значение \(\sin(x)\), так как \(\sin(x)\) отрицательно в этом интервале. Так что оставим только положительное значение:

\[\sin(x) = \frac{1}{4}\]

Можем использовать обратную функцию синуса, чтобы найти \(x\):

\[x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\]

Так что решением уравнения \(2\log_{4^2}(4\sin(x))-3\log_4(\sin(x))-2=0\) будет:

\(x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\)

B) Чтобы определить значения переменной \(x\), являющихся корнями уравнения и принадлежащих отрезку \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}\right]\), мы должны проверить, находится ли найденное значение \(x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\) в данном интервале.

Для этого, преобразуем границы интервала из десятичных чисел в радианы:

\(-\frac{3\pi}{2} \approx -4.712\) и \(\frac{3\pi}{4} \approx 2.356\)

Подставим \(x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\) в интервал:

\(-4.712 \leq \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) \leq 2.356\)

Так как \(\arcsin\left(\frac{1}{4}\right) \approx 0.2531\) и это значение удовлетворяет неравенству:

\(-4.712 \leq 0.2531 \leq 2.356\)

Мы можем заключить, что найденное значение \(x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\) является корнем уравнения и принадлежит отрезку \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}\right]\).

Таким образом, ответом на задачу является:

A) Решением уравнения \(2\log_{4^2}(4\sin(x))-3\log_4(\sin(x))-2=0\) является \(x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\).

B) Единственным значением переменной \(x\), являющимся корнем уравнения и принадлежащим отрезку \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}\right]\), является \(x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\).