Яку довжину мають діагоналі ромба, якщо відомо, що одна сторона дорівнює а, а один з кутів дорівнює

\(60^\circ\).

Для решения этой задачи нам понадобятся свойства ромба. В ромбе все стороны равны друг другу, а каждый угол равен \(90^\circ\). Также, сумма углов в любом многоугольнике равна \(180^\circ\). Зная это, мы можем решить задачу.

Предположим, что одна сторона ромба равна \(a\) (как указано в условии) и один из углов ромба равен \(60^\circ\). Обозначим длину диагоналей как \(d_1\) и \(d_2\).

Рассмотрим первую диагональ \(d_1\). В ромбе диагональ делит два смежных угла пополам, поэтому угол между \(d_1\) и одной из сторон ромба будет равен \(30^\circ\) (\(60^\circ\) деленное на \(2\)). Теперь, если мы нарисуем высоту ромба, соединяющую вершину с несмежным углом, мы получим прямоугольный треугольник, в котором один угол равен \(30^\circ\), а противоположная катету диагональ \(d_1\). Пусть \(h\) будет длиной этой высоты.

Теперь мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти \(h\). Пользуясь тригонометрией, мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{{h}}{{a}}\). Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{1}{2} = \frac{{h}}{{a}}\]

Отсюда получаем:

\[h = \frac{{a}}{{2}}\]

Таким образом, первая диагональ ромба равна \(d_1 = 2h = a\).

Аналогичным образом можно рассмотреть вторую диагональ \(d_2\). Так как ромб симметричен относительно диагоналей, угол между \(d_2\) и одной из сторон ромба также будет \(30^\circ\). Следовательно, вторая диагональ также будет равна \(d_2 = a\).

Таким образом, ответ на задачу: длина обеих диагоналей ромба равна \(a\).