Яка площа трикутника, якщо радіус кола, описаного навколо нього, становить 8 см, а два кути трикутника мають величину

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о связи радиуса описанной окружности и стороны треугольника.

1. Сначала найдем длину стороны треугольника.

Для этого воспользуемся третьей теоремой тригонометрии, которая гласит: "в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".
В нашем случае третья сторона треугольника и гипотенуза.

Пусть a - длина стороны треугольника. Тогда по теореме Пифагора:

\( a^2 = 2r^2(1 - \cos{\alpha}) \),
где r - радиус описанной окружности, а \(\alpha\) - величина одного из углов треугольника.

Подставляя известные значения в формулу, получим:

\( a^2 = 2 \cdot 8^2 \cdot (1 - \cos{45^{\circ}}) \).

Далее, следует учесть, что \(\cos{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Подставляя это значение, получим:

\( a^2 = 2 \cdot 8^2 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).

Выполним вычисления:

\( a^2 = 2 \cdot 64 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 128 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).

Таким образом, мы нашли квадрат длины стороны треугольника.

2. Теперь найдем площадь треугольника.

Для этого воспользуемся формулой площади треугольника:

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \),
где a - длина стороны треугольника, h - высота треугольника.

Для нахождения высоты треугольника, можно воспользоваться известной формулой для вычисления высоты в прямоугольном треугольнике, где один из катетов это радиус описанной окружности (8 см), а другой катет это половина длины стороны треугольника.

По формуле: \( h = \frac{abc}{4R} \), где а, b и c - длины сторон треугольника, R - радиус описанной окружности.

Подставим известные значения в формулу, получим:

\( h = \frac{a \cdot a \cdot a}{4 \cdot 8} = \frac{a^3}{32} \).

Теперь, подставим найденные значения стороны и высоты в формулу для площади:

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a^3}{32} \).

Упростим:

\( S = \frac{a^4}{64} \).

Получили формулу для площади треугольника в зависимости от длины его стороны.

Теперь, можно вычислить площадь подставив найденные значения стороны треугольника:

\( S = \frac{8^4}{64} = 32 \) (см\(^2\)).

Таким образом, площадь треугольника равна 32 квадратных сантиметра.