Яку довжину має менша сторона прямокутника, якщо діагоналі перетинаються під кутом 60°, а діагональ дорівнює

Давайте рассмотрим данную задачу. У нас есть прямоугольник с двумя диагоналями, которые пересекаются под углом 60°. Мы хотим найти длину меньшей стороны прямоугольника, при условии, что одна из диагоналей известна.

Пусть \(d_1\) - это данная диагональ, а \(d_2\) - это другая диагональ. Мы не знаем длину \(d_1\), но знаем, что они пересекаются под углом 60°.

Для начала давайте вспомним свойство прямоугольника: диагонали в прямоугольнике равны по длине и делят его пополам. Это означает, что \(d_1\) и \(d_2\) одинаковые и равны, значит мы можем обозначить их как \(d\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный \(d\), меньшей стороной прямоугольника и линией, соединяющей конец \(d\). В этом треугольнике один из углов равен 60°.

Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины меньшей стороны прямоугольника. Формула для нахождения длины стороны треугольника в виде \[c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)}\], где \(c\) - это искомая сторона, \(a\) и \(b\) - это известные стороны треугольника, а \(C\) - это угол в радианах, соответствующий стороне \(c\).

В нашем случае, \(a = d\) и \(C = 60°\), что равно \(\frac{\pi}{3}\) радиан. Заменим значения в формуле: \[c = \sqrt{d^2 + d^2 - 2d \cdot d \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}\]

Упростим формулу: \[c = \sqrt{2d^2 - 2d^2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}\]

Теперь будем считать. Заметим, что \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\). Подставим это значение в формулу: \[c = \sqrt{2d^2 - 2d^2 \cdot \frac{1}{2}}\]


\[c = \sqrt{2d^2 - d^2}\]

\[c = \sqrt{d^2} = d\]

Как мы видим, длина меньшей стороны прямоугольника равна длине диагонали. Таким образом, ответ на задачу: длина меньшей стороны прямоугольника ровна длине диагонали \(d_1\)