Каково расстояние от точки k, не лежащей в плоскости альфа(a), до прямой m в этой плоскости, если оно равно корню

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.

Пусть точка k задана координатами (x_k, y_k, z_k), а уравнение плоскости a имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, а прямая m задана параметрическими уравнениями x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z = z_0 + ct.

Первым шагом найдем расстояние от точки k до плоскости a. Для этого мы можем использовать формулу:

$$d=\frac{|A{x}_k+B{y}_k+C{z}_k+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Однако, нам дано, что расстояние от точки k до плоскости a на 2 см меньше расстояния от к основанию перпендикуляра, проведенного из точки k к плоскости a, до прямой m. Обозначим расстояние от точки k до плоскости a через d1, а расстояние от перпендикуляра до прямой m через d2.

Из условия задачи, у нас имеется следующее уравнение:

$$d1=d2-2$$

Теперь решим систему из двух уравнений для нахождения d1 и d2.

Если уравнение плоскости a имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, а точка k задана координатами (x_k, y_k, z_k), то подставим эти значения в формулу расстояния от точки до плоскости:

$$d1=\frac{|A\cdot x_k+B\cdot y_k+C\cdot z_k+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Аналогично, подставим параметры прямой m в уравнения:

$$d2=\frac{|A\cdot (x_0+at)+B\cdot (y_0+bt)+C\cdot (z_0+ct)+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Теперь мы имеем систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}d1=\frac{|A\cdot x_k+B\cdot y_k+C\cdot z_k+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\ d2=\frac{|A\cdot (x_0+at)+B\cdot (y_0+bt)+C\cdot (z_0+ct)+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{array}$$

Если мы возьмем квадрат обеих сторон каждого уравнения, то получим:

$$\{\begin{array}{l}d{1}^2=\frac{(A\cdot x_k+B\cdot y_k+C\cdot z_k+D{)}^2}{A^2+B^2+C^2}\\ d{2}^2=\frac{(A\cdot (x_0+at)+B\cdot (y_0+bt)+C\cdot (z_0+ct)+D{)}^2}{A^2+B^2+C^2}\end{array}$$

Теперь, если мы вычтем первое уравнение из второго, то получим:

$$d{2}^2-d{1}^2=\frac{(A\cdot (x_0+at)+B\cdot (y_0+bt)+C\cdot (z_0+ct)+D{)}^2}{A^2+B^2+C^2}-\frac{(A\cdot x_k+B\cdot y_k+C\cdot z_k+D{)}^2}{A^2+B^2+C^2}$$

Упрощая выражение получим:

$$(d2+d1)(d2-d1)=\frac{((A\cdot (x_0+at)+B\cdot (y_0+bt)+C\cdot (z_0+ct)+D)+(A\cdot x_k+B\cdot y_k+C\cdot z_k+D))\cdot ((A\cdot (x_0+at)+B\cdot (y_0+bt)+C\cdot (z_0+ct)+D)-(A\cdot x_k+B\cdot y_k+C\cdot z_k+D))}{A^2+B^2+C^2}$$

Теперь заметим, что слагаемые вида $A\cdot (x_0+at)+B\cdot (y_0+bt)+C\cdot (z_0+ct)+D$ в скобках упрощаются до $A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D$, так как $a,b,c$ - параметры, не зависящие от $t$, а они исключаются после вычитания. Но исключается из выражения и слагаемое $D$, так как оно ни на что не влияет после вычитания.

Получим:

$$(d2+d1)(d2-d1)=\frac{(A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0)+(A\cdot x_k+B\cdot y_k+C\cdot z_k))\cdot ((A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0)-(A\cdot x_k+B\cdot y_k+C\cdot z_k))}{A^2+B^2+C^2}$$

Заметим, что у нас появились скалярные произведения вида (A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0) и (A \cdot x_k + B \cdot y_k + C \cdot z_k). Обозначим их соответственно Sk и Sk". Теперь у нас есть:

$$(d2+d1)(d2-d1)=\frac{(Sk+Sk")\cdot (Sk-Sk")}{A^2+B^2+C^2}$$

Теперь вернемся к исходным данным задачи: расстояние от точки k до прямой m в плоскости a равно $\sqrt{74}$ см. Это означает:

$$d2-d1=\sqrt{74}$$

Мы также знаем, что $d1=d2-2$. Подставим это значение в уравнение:

$$(d2-2{)}^2={\sqrt{74}}^2$$

$$d{2}^2-4d2+4=74$$

$$d{2}^2-4d2-70=0$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

$$d2=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-70)}}{2\cdot 1}$$

$$d2=\frac{4\pm \sqrt{16+280}}{2}$$

$$d2=\frac{4\pm \sqrt{296}}{2}$$

$$d2=\frac{4\pm 2\sqrt{74}}{2}$$

$$d2=2\pm \sqrt{74}$$

Поскольку расстояние не может быть отрицательным, то $d2=2+\sqrt{74}$.

Теперь мы можем найти $d1$ из уравнения $d1=d2-2$:

$$d1=2+\sqrt{74}-2=\sqrt{74}$$

Таким образом, расстояние от точки k до плоскости a равно $\sqrt{74}$ см, а расстояние от основания перпендикуляра, проведенного из точки k к плоскости a до прямой m, равно $2+\sqrt{74}$ см.