Якщо діаметр циліндра вдвічі більший за його висоту і діагональ осьового перетину дорівнює 4 кореням з 10 см, то який радіус циліндра?
Бельчонок
Давайте решим эту задачу пошагово.
Пусть \(d\) - диаметр цилиндра и \(h\) - его высота.
Согласно условию задачи, диаметр цилиндра вдвое больше его высоты, то есть мы можем записать следующее уравнение:
\(d = 2h\)
Также известно, что диагональ осевого пересечения цилиндра равна 4 корням из 10 см. Диагональ цилиндра это гипотенуза прямоугольного треугольника, а высота цилиндра это одна из его катетов. По теореме Пифагора, можно записать следующее уравнение:
\(d^2 = h^2 + (\sqrt{10})^2\)
Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
\(\begin{cases} d = 2h \\ d^2 = h^2 + 10 \end{cases}\)
Мы можем решить эту систему методом подстановки.
Из первого уравнения получаем, что \(d = 2h\). Подставляем это значение во второе уравнение:
\((2h)^2 = h^2 + 10\)
Упрощаем и решаем полученное квадратное уравнение:
\(4h^2 = h^2 + 10\)
\(4h^2 - h^2 = 10\)
\(3h^2 = 10\)
\(h^2 = \frac{10}{3}\)
\(h = \sqrt{\frac{10}{3}}\)
Итак, мы нашли высоту цилиндра \(h\).
Чтобы найти радиус цилиндра, мы можем воспользоваться формулой для нахождения объема цилиндра:
\(V = \pi r^2 h\)
Зная, что диаметр цилиндра равен удвоенной высоте, мы можем выразить радиус через высоту:
\(d = 2r\)
\(r = \frac{d}{2} = \frac{2h}{2} = h\)
Таким образом, радиус цилиндра такой же, как и его высота:
\(r = h = \sqrt{\frac{10}{3}}\).
Ответ: радиус цилиндра равен \(\sqrt{\frac{10}{3}}\) см.
Пусть \(d\) - диаметр цилиндра и \(h\) - его высота.
Согласно условию задачи, диаметр цилиндра вдвое больше его высоты, то есть мы можем записать следующее уравнение:
\(d = 2h\)
Также известно, что диагональ осевого пересечения цилиндра равна 4 корням из 10 см. Диагональ цилиндра это гипотенуза прямоугольного треугольника, а высота цилиндра это одна из его катетов. По теореме Пифагора, можно записать следующее уравнение:
\(d^2 = h^2 + (\sqrt{10})^2\)
Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
\(\begin{cases} d = 2h \\ d^2 = h^2 + 10 \end{cases}\)
Мы можем решить эту систему методом подстановки.
Из первого уравнения получаем, что \(d = 2h\). Подставляем это значение во второе уравнение:
\((2h)^2 = h^2 + 10\)
Упрощаем и решаем полученное квадратное уравнение:
\(4h^2 = h^2 + 10\)
\(4h^2 - h^2 = 10\)
\(3h^2 = 10\)
\(h^2 = \frac{10}{3}\)
\(h = \sqrt{\frac{10}{3}}\)
Итак, мы нашли высоту цилиндра \(h\).
Чтобы найти радиус цилиндра, мы можем воспользоваться формулой для нахождения объема цилиндра:
\(V = \pi r^2 h\)
Зная, что диаметр цилиндра равен удвоенной высоте, мы можем выразить радиус через высоту:
\(d = 2r\)
\(r = \frac{d}{2} = \frac{2h}{2} = h\)
Таким образом, радиус цилиндра такой же, как и его высота:
\(r = h = \sqrt{\frac{10}{3}}\).
Ответ: радиус цилиндра равен \(\sqrt{\frac{10}{3}}\) см.
Знаешь ответ?