Якою буде площа прямокутної трапеції, у якої різниця довжин основ становить 15см, а радіус вписаного кола

Хорошо, вот подробное решение данной задачи.

Площадь прямоугольной трапеции можно найти по формуле:

$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

Где $a$ и $b$ - длины основ трапеции, а $h$ - высота трапеции.

У нас дана разность длин основ, равная 15 см. Пусть $a$ - длина большей основы, а $b$ - длина меньшей основы. Тогда имеем:

$$a-b=15$$

Также известно, что радиус вписанной окружности равен $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной разности основ трапеции ($\frac{a-b}{2}$), радиусом вписанной окружности ($r$) и высотой трапеции ($h$). Этот треугольник является прямоугольным, так как его катеты - это половина разности основ и радиус вписанной окружности.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника получаем:

$${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2+r^2=h^2$$

Из уравнения $a-b=15$ можно выразить $a$ через $b$:

$$a=b+15$$

Теперь подставим эту формулу в уравнение Пифагора:

$$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$

Упрощаем:

$$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$

$$\frac{225}{4}+r^2=h^2$$

Переносим $r^2$ на другую сторону:

$$h^2-r^2=\frac{225}{4}$$

Поскольку $h$ и $r$ являются положительными величинами, можно заметить, что левая часть уравнения - это разность квадратов:

$$(h+r)(h-r)=\frac{225}{4}$$

Теперь рассмотрим формулу для площади прямоугольной трапеции:

$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

Подставим выражение для $a$ и $b$:

$$S=\frac{(b+15+b)}{2}\cdot h$$

$$S=\frac{2b+15}{2}\cdot h$$

Упрощаем:

$$S=(b+\frac{15}{2})\cdot h$$

Вспоминаем, что $h^2-r^2=\frac{225}{4}$, поэтому $h$ можно выразить через $r$:

$$h=\sqrt{r^2+\frac{225}{4}}$$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади:

$$S=(b+\frac{15}{2})\cdot \sqrt{r^2+\frac{225}{4}}$$

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции будет зависеть от значений длины меньшей основы $b$ и радиуса вписанного круга $r$. При заданных значениях $b$ и $r$ необходимо подставить их в формулу для определения площади и просчитать конечный результат.

Данное решение предоставляет подход для нахождения площади прямоугольной трапеции с разностью основ 15 см и радиусом вписанного круга $r$. Для получения конкретного численного ответа, вам необходимы значения $b$ и $r$.