Якою буде площа прямокутної трапеції, у якої різниця довжин основ становить 15см, а радіус вписаного кола

Хорошо, вот подробное решение данной задачи.

Площадь прямоугольной трапеции можно найти по формуле:

\[S = \frac{{a+b}}{2} \cdot h\]

Где \(a\) и \(b\) - длины основ трапеции, а \(h\) - высота трапеции.

У нас дана разность длин основ, равная 15 см. Пусть \(a\) - длина большей основы, а \(b\) - длина меньшей основы. Тогда имеем:

\[a - b = 15\]

Также известно, что радиус вписанной окружности равен \(r\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной разности основ трапеции (\(\frac{{a-b}}{2}\)), радиусом вписанной окружности (\(r\)) и высотой трапеции (\(h\)). Этот треугольник является прямоугольным, так как его катеты - это половина разности основ и радиус вписанной окружности.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника получаем:

\[\left(\frac{{a-b}}{2}\right)^2 + r^2 = h^2\]

Из уравнения \(a - b = 15\) можно выразить \(a\) через \(b\):

\[a = b + 15\]

Теперь подставим эту формулу в уравнение Пифагора:

\[\left(\frac{{(b+15)-b}{2}}\right)^2 + r^2 = h^2\]

Упрощаем:

\[\left(\frac{{15}{2}}\right)^2 + r^2 = h^2\]

\[\frac{{225}}{4} + r^2 = h^2\]

Переносим \(r^2\) на другую сторону:

\[h^2 - r^2 = \frac{{225}}{4}\]

Поскольку \(h\) и \(r\) являются положительными величинами, можно заметить, что левая часть уравнения - это разность квадратов:

\[(h+r)(h-r) = \frac{{225}}{4}\]

Теперь рассмотрим формулу для площади прямоугольной трапеции:

\[S = \frac{{a+b}}{2} \cdot h\]

Подставим выражение для \(a\) и \(b\):

\[S = \frac{{(b+15+b)}}{2} \cdot h\]

\[S = \frac{{2b+15}}{2} \cdot h\]

Упрощаем:

\[S = (b + \frac{{15}}{2}) \cdot h\]

Вспоминаем, что \(h^2 - r^2 = \frac{{225}}{4}\), поэтому \(h\) можно выразить через \(r\):

\[h = \sqrt{r^2 + \frac{{225}}{4}}\]

Теперь подставим это выражение в формулу для площади:

\[S = (b + \frac{{15}}{2}) \cdot \sqrt{r^2 + \frac{{225}}{4}}\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции будет зависеть от значений длины меньшей основы \(b\) и радиуса вписанного круга \(r\). При заданных значениях \(b\) и \(r\) необходимо подставить их в формулу для определения площади и просчитать конечный результат.

Данное решение предоставляет подход для нахождения площади прямоугольной трапеции с разностью основ 15 см и радиусом вписанного круга \(r\). Для получения конкретного численного ответа, вам необходимы значения \(b\) и \(r\).