Какова длина боковой поверхности вписанной правильной треугольной пирамиды внутри конуса, если длина образующей конуса

Хорошо! Для решения данной задачи, давайте начнем с построения рисунка.


На рисунке вы видите правильную треугольную пирамиду \(ABCD\) вписанную внутри конуса \(AODB\).

Для решения задачи, нам понадобится найти боковую поверхность пирамиды. Давайте обозначим ее через \(S_p\).

Чтобы найти \(S_p\), давайте рассмотрим расположение пирамиды внутри конуса.

Предположим, что ребро пирамиды \(AD\) касается основания конуса \(OD\). Тогда линия, соединяющая вершину пирамиды \(A\) и вершину конуса \(O\), будет являться высотой конуса \(h\).

Также, образующая конуса \(OB\) будет обозначена как \(l\).

Теперь, мы знаем, что образующая конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Таким образом, \(l = 4\) см и угол наклона \(\angle AOB = 60^\circ\).

Для нахождения высоты конуса, мы можем воспользоваться тригонометрией. Из прямоугольного треугольника \(AOH\) (где \(H\) - это основание конуса), мы знаем, что \(\sin(60^\circ) = \frac{h}{l}\).

Решим это уравнение:

\[
\sin(60^\circ) = \frac{h}{4}
\]

Учитывая, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4}
\]

Далее, умножаем обе части уравнения на 4 и получаем:

\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} \quad \text{см}
\]

Теперь, чтобы найти боковую поверхность пирамиды, нам понадобится найти длину бокового ребра \(AB\).

Для этого, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\). Мы знаем, что это прямоугольный треугольник, так как треугольная пирамида \(ABCD\) является правильной треугольной пирамидой.

В треугольнике \(ABD\), угол \(\angle ABD\) равен 90 градусов, а угол \(\angle A\) равен 60 градусов (так как \(ABCD\) - правильная треугольная пирамида). Таким образом, угол \(\angle BAD\) равен \(180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

Теперь, давайте рассмотрим треугольник \(ABD\) как прямоугольный треугольник.

Зная, что \(AD = h = 2\sqrt{3}\) см (высота треугольной пирамиды), мы можем найти длину ребра \(AB\) с помощью тригонометрии.

Из треугольника \(ABD\) мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{AD}{AB}\).

Решим это уравнение:

\[
\frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{AB}
\]

Умножаем обе части уравнения на \(AB\):

\[
\frac{1}{2} \cdot AB = 2\sqrt{3}
\]

Теперь, делим обе части уравнения на \(\frac{1}{2}\):

\[
AB = \frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{1}{2}}} = 4\sqrt{3} \quad \text{см}
\]

Итак, мы нашли длину ребра \(AB\) равную \(4\sqrt{3}\) см. Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды.

Длина боковой поверхности пирамиды, обозначенная как \(S_p\), можно найти с помощью формулы \(S_p = \text{периметр основания} \times \text{высота пирамиды}\).

Так как пирамида \(ABCD\) - правильная треугольная пирамида, периметр основания будет равен \(3 \times AB\).

Подставим значения:

\[
S_p = 3 \times 4\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 3 \times 4 \times 3 = 36 \quad \text{см}^2
\]

Итак, длина боковой поверхности вписанной правильной треугольной пирамиды внутри конуса равна 36 квадратным сантиметрам.