Яковісно переформулюйте, будь ласка, таке питання: Яка основа прямокутного паралелепіпеда має ромб зі стороною 4

Щоб зрозуміти, яка основа має прямокутний паралелепіпед з ромбом та кутом, нам потрібно подивитися на його рисунок. Давайте розглянемо це крок за кроком.

Перший крок - ми знаємо, що паралелепіпед має основу у вигляді ромба зі стороною 4 см та кутом 120°. Для початку, нам потрібно намалювати ромб з такими параметрами.

\[
\begin{array}{c}
\text{ A} \\
\text{ /\textbackslash} \\
\text{B ─────── C}
\end{array}
\]

Відповідно до задачі, сторона ромба має довжину 4 см, а кут між сторонами А В і А С складає 120°. Давайте позначимо точку D посередині сторони АВ.

\[
\begin{array}{c}
\text{ A} \\
\text{ /\textbackslash} \\
\text{B ─── D ─── C}
\end{array}
\]

Другий крок - нам потрібно знайти діагоналі ромба. Оскільки D є серединою, ми можемо використати трикутник ABD для цього. Ми знаємо, що дві сторони рівні і мають довжину 4 см. Крім того, кут B має величину 120°. Це рівносторонній трикутник.

Тепер ми можемо знайти довжину діагоналі BD, використовуючи теорему косинусів:

\[BD = \sqrt{AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(120°)}\]

Оскільки AD це половина сторони ромба, то його довжина становить \(AD = \frac{4}{2} = 2\) см.

Підставимо ці значення у формулу та обчислимо:

\[
BD = \sqrt{4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos(120°)} = \sqrt{16 + 4 - 16 \cdot \frac{-1}{2}} = \sqrt{16 + 4 + 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.29 \, \text{см}
\]

Тепер ми знаємо, що коротша діагональ ромба AC має довжину 4 см, а довша діагональ BD має довжину \(2\sqrt{7}\) см.

Третій крок - ми повинні з"ясувати в якому положенні знаходиться паралелепіпед щодо його основи. Задача говорить, що довша діагональ BD нахилена до площини основи під кутом 30°. За допомогою цих інформацій ми можемо намалювати паралелепіпед з урахуванням нахилу.

У цьому малюнку, паралелепіпед приведено у проекції зверху. Обов"язково помітите, що лівий кут ромба знаходиться знизу, а правий знаходиться зверху.

\[
\begin{array}{c}
\text{ E} \\
\text{ /\textbackslash} \\
\text{A ─── D ─── C} \\
\text{│ │} \\
\text{│ │} \\
\text{B ─── F ──── G}
\end{array}
\]

Формулу, щоб знайти об"єм паралелепіпеда, можна виразити за допомогою довжини останньої діагоналі і висоти паралелепіпеда \(h\):

\[V = \frac{1}{3} \cdot AЕ \cdot h\]

У нашому випадку, \(AЕ = 4\) см і нахилена діагональ \(BD = 2\sqrt{7}\) см. А висоту \(h\) залишається невідомою.

Останній крок - знайдемо висоту паралелепіпеда \(h\). Зауважте, що кут між нахиленою діагоналлю BD і основою паралелепіпеда АВЕ становить 30°. Ми можемо використовувати трикутник АВD для обчислення висоти. Так як трикутник АВD є прямокутним, ми можемо використовувати теорему синусів:

\[\frac{h}{2\sqrt{7}} = \sin(30°)\]
\[h = 2\sqrt{7} \cdot \sin(30°) = \sqrt{7}\]

Тепер ми маємо всі необхідні значення для знаходження об"єму паралелепіпеда:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{7} ≈ 2.07 \, \text{см}^3\]

Таким чином, об"єм паралелепіпеда становить приблизно 2.07 кубічних сантиметрів.