Якого типу є кут B у трикутнику ABC, з відомими координатами вершин A(4;-1), B(2;3), C(-4;1)?

Для решения задачи нам понадобятся знания о геометрии и формулах для вычисления углов в треугольниках.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC. Длину стороны между точками A и B можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости:

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставим координаты точек A и B в эту формулу:

\[AB = \sqrt{(2 - 4)^2 + (3 - (-1))^2}\]

\[AB = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2}\]

\[AB = \sqrt{4 + 16}\]

\[AB = \sqrt{20}\]

\[AB = 2\sqrt{5}\]

Аналогично, вычислим длины сторон BC и AC:

\[BC = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 3)^2}\]

\[BC = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2}\]

\[BC = \sqrt{36 + 4}\]

\[BC = \sqrt{40}\]

\[BC = 2\sqrt{10}\]

\[AC = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (1 - (-1))^2}\]

\[AC = \sqrt{(-8)^2 + (2)^2}\]

\[AC = \sqrt{64 + 4}\]

\[AC = \sqrt{68}\]

\[AC = 2\sqrt{17}\]

Шаг 2: Используем формулу косинусов для вычисления угла B. Формула косинусов гласит:

\[cos(B) = \frac{{AB^2 + BC^2 - AC^2}}{{2 \cdot AB \cdot BC}}\]

Подставляем значения, которые мы уже вычислили:

\[cos(B) = \frac{{(2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{10})^2 - (2\sqrt{17})^2}}{{2 \cdot (2\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{10})}}\]

\[cos(B) = \frac{{4 \cdot 5 + 4 \cdot 10 - 4 \cdot 17}}{{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}}\]

\[cos(B) = \frac{{20 + 40 - 68}}{{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}}\]

\[cos(B) = \frac{{-8}}{{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}}\]

\[cos(B) = -\frac{{8}}{{4 \cdot \sqrt{50}}}\]

\[cos(B) = -\frac{{8}}{{4 \cdot 2\sqrt{5}}}\]

\[cos(B) = -\frac{{8}}{{8\sqrt{5}}}\]

Шаг 3: Упрощаем полученное значение:

\[cos(B) = -\frac{{1}}{{\sqrt{5}}}\]

Теперь мы найдем угол B, используя значение косинуса. Для этого воспользуемся обратной функцией косинуса (арккосинусом).

Шаг 4: Находим угол B:

\[B = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\]

Подставляем значения в тригонометрический калькулятор или таблицу и получаем:

\[B \approx 143.13^\circ\]

Таким образом, угол B в треугольнике ABC составляет приблизительно 143.13 градусов.