Який з кутів трикутника мнк є найменшим, якщо мн = 5 см, нк = 9 см і мк

Для того чтобы определить, у какого из углов треугольника МНК наименьшая величина, нам нужно воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема позволяет нам определить размер угла в треугольнике по длинам его сторон.

Теорема косинусов звучит следующим образом: в любом треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон, умноженных на два произведения этих сторон на косинус угла между ними. Формула для вычисления угла по этой теореме выглядит так:

\[
\cos(\angle М) = \frac{{МН^2 + МК^2 - НК^2}}{{2 \cdot МН \cdot МК}}
\]

Теперь мы можем использовать данную формулу для нахождения косинуса угла М. Подставим известные значения:

\[
\cos(\angle М) = \frac{{5^2 + 9^2 - 9^2}}{{2 \cdot 5 \cdot 9}} = \frac{{25 + 81 - 81}}{{90}} = \frac{{25}}{{90}} = \frac{{5}}{{18}}
\]

Теперь нам нужно найти косинусы углов Н и К, чтобы сравнить их с углом М. Для этого воспользуемся аналогичной формулой:

\[
\cos(\angle Н) = \frac{{МК^2 + НК^2 - МН^2}}{{2 \cdot МК \cdot НК}}
\]
\[
\cos(\angle М) = \frac{{МН^2 + НК^2 - МК^2}}{{2 \cdot МН \cdot НК}}
\]

Подставим известные значения:

\[
\cos(\angle Н) = \frac{{9^2 + 9^2 - 5^2}}{{2 \cdot 9 \cdot 9}} = \frac{{81 + 81 - 25}}{{162}} = \frac{{157}}{{162}}
\]
\[
\cos(\angle К) = \frac{{5^2 + 9^2 - 5^2}}{{2 \cdot 5 \cdot 9}} = \frac{{25 + 81 - 25}}{{90}} = \frac{{81}}{{90}} = \frac{{9}}{{10}}
\]

Теперь сравним эти значения. Нам нужно найти наименьший косинус, так как угол с наименьшим косинусом будет иметь наименьшую величину.

Мы видим, что косинус угла К равен \( \frac{{9}}{{10}} \), косинус угла М равен \( \frac{{5}}{{18}} \), а косинус угла Н равен \( \frac{{157}}{{162}} \). Сравнивая эти значения, мы можем сделать вывод, что наименьший угол из указанных является угол М, так как его косинус имеет наименьшую величину.

Таким образом, наименьшим из углов треугольника МНК является угол М.