Какова площадь боковой поверхности наклонной треугольной призмы, если все ее ребра равны 4 см, а боковое ребро образует

Чтобы найти площадь боковой поверхности наклонной треугольной призмы, сначала определим высоту треугольной грани.

Для этого воспользуемся геометрическими свойствами треугольника. Рассмотрим боковой треугольник призмы, образованный одним из ребер основания и боковым ребром.

Так как боковое ребро образует углы в 30° с ребрами оснований, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых один из катетов будет равен 4 см (ребро основания), а угол между этим катетом и гипотенузой будет равен 30°.

Теперь нам нужно найти высоту этих прямоугольных треугольников. Можно воспользоваться тригонометрическим соотношением для нахождения высоты треугольника с известным катетом и углом:

\[h = a \cdot \tan(\theta)\]

где \(h\) - высота треугольника, \(a\) - длина катета, \(\theta\) - угол между катетом и гипотенузой.

Подставив значения \(a = 4\) см и \(\theta = 30°\) в формулу, получим:

\[h = 4 \cdot \tan(30°)\]

Чтобы вычислить значение тангенса 30°, воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций или калькулятором. После вычислений получаем, что \(\tan(30°) \approx 0.5774\).

Теперь можем вычислить значение \(h\):

\[h ≈ 4 \cdot 0.5774\]

\[h ≈ 2.3096\]

Так как у нас два прямоугольных треугольника, высоты которых совпадают, общая высота призмы будет равна удвоенному значению \(h\):

\[H \approx 2 \cdot 2.3096\]

\[H ≈ 4.6192\]

Теперь, когда мы знаем высоту призмы, можем найти площадь боковой поверхности призмы.

Формула для нахождения площади боковой поверхности призмы:

\[S = P \cdot H\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(P\) - периметр основания призмы, \(H\) - высота призмы.

У нас треугольное основание, а все его стороны равны 4 см. Периметр вычислим следующим образом:

\[P = 3 \cdot a = 3 \cdot 4\]

\[P = 12\]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

\[S = 12 \cdot 4.6192\]

\[S ≈ 55.4304 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности наклонной треугольной призмы составляет примерно 55.4304 квадратных сантиметра.