Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен 15 и проекция другого

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о свойствах прямоугольного треугольника и методы работы с окружностями.

Прежде чем приступить к решению, обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом: пусть катет, равный 15, обозначается как $a$, проекция другого катета на гипотенузу обозначается как $b$ и гипотенуза обозначается как $c$.

Итак, нам известно, что один из катетов равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна $b$.

Теперь вспомним свойство вписанной окружности в треугольник. Радиус вписанной окружности обозначим как $r$. Согласно свойству, радиус вписанной окружности перпендикулярен к стороне треугольника и делит её пополам. Поэтому, проекция катета на гипотенузу будет равна расстоянию от вершины треугольника до точки касания окружности с гипотенузой, то есть $r$.

Теперь, когда мы знаем, что проекция одной стороны треугольника на гипотенузу равна радиусу вписанной окружности, можем её обозначить как $r$ и продолжить решение.

Применим теорему Пифагора для нашего прямоугольного треугольника: $a^2+b^2=c^2$. Подставим известные значения: ${15}^2+r^2=c^2$.

Далее, вспомним свойство вписанной окружности о том, что сумма длин отрезков, проведенных из вершин треугольника до точки касания окружности, равна длине стороны треугольника. В нашем случае, это $a+b+c$.

Так как одна сторона треугольника равна 15, а проекция другой стороны равна $r$, получаем: $r+15+c=c$.

Подставим значение $c$ из уравнения Пифагора: $r+15+\sqrt{{15}^2+r^2}=\sqrt{{15}^2+r^2}$.

Выразим радиус вписанной окружности $r$: $r+15=0$.

Решим полученное уравнение относительно $r$:

$$r+15=\sqrt{{15}^2+r^2}-r$$

$$r+r=\sqrt{{15}^2+r^2}-15$$

$$2r=\sqrt{{15}^2+r^2}-15$$

$$2r+15=\sqrt{{15}^2+r^2}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат для упрощения:

$$(2r+15{)}^2=(r^2+{15}^2+r^2)$$

$$4r^2+60r+225=2r^2+225$$

$$2r^2-60r=0$$

$$r(2r-60)=0$$

Таким образом, получаем два возможных значения для радиуса вписанной окружности: $r=0$ и $r=30$.

Теперь, чтобы выбрать правильный ответ из двух возможных значений, рассмотрим сам треугольник. Радиус окружности не может быть равен нулю, так как это означало бы, что окружность совпадает с одной из сторон треугольника. Поэтому, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 30.