Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен 15 и проекция другого

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о свойствах прямоугольного треугольника и методы работы с окружностями.

Прежде чем приступить к решению, обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом: пусть катет, равный 15, обозначается как \(a\), проекция другого катета на гипотенузу обозначается как \(b\) и гипотенуза обозначается как \(c\).

Итак, нам известно, что один из катетов равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна \(b\).

Теперь вспомним свойство вписанной окружности в треугольник. Радиус вписанной окружности обозначим как \(r\). Согласно свойству, радиус вписанной окружности перпендикулярен к стороне треугольника и делит её пополам. Поэтому, проекция катета на гипотенузу будет равна расстоянию от вершины треугольника до точки касания окружности с гипотенузой, то есть \(r\).

Теперь, когда мы знаем, что проекция одной стороны треугольника на гипотенузу равна радиусу вписанной окружности, можем её обозначить как \(r\) и продолжить решение.

Применим теорему Пифагора для нашего прямоугольного треугольника: \(a^2 + b^2 = c^2\). Подставим известные значения: \(15^2 + r^2 = c^2\).

Далее, вспомним свойство вписанной окружности о том, что сумма длин отрезков, проведенных из вершин треугольника до точки касания окружности, равна длине стороны треугольника. В нашем случае, это \(a + b + c\).

Так как одна сторона треугольника равна 15, а проекция другой стороны равна \(r\), получаем: \(r + 15 + c = c\).

Подставим значение \(c\) из уравнения Пифагора: \(r + 15 + \sqrt{15^2 + r^2} = \sqrt{15^2 + r^2}\).

Выразим радиус вписанной окружности \(r\): \(r + 15 = 0\).

Решим полученное уравнение относительно \(r\):

\[
r + 15 = \sqrt{15^2 + r^2} - r
\]

\[
r + r = \sqrt{15^2 + r^2} - 15
\]

\[
2r = \sqrt{15^2 + r^2} - 15
\]

\[
2r + 15 = \sqrt{15^2 + r^2}
\]

Возведем обе части уравнения в квадрат для упрощения:

\[
(2r + 15)^2 = (r^2 + 15^2 + r^2)
\]

\[
4r^2 + 60r + 225 = 2r^2 + 225
\]

\[
2r^2 - 60r = 0
\]

\[
r(2r - 60) = 0
\]

Таким образом, получаем два возможных значения для радиуса вписанной окружности: \(r = 0\) и \(r = 30\).

Теперь, чтобы выбрать правильный ответ из двух возможных значений, рассмотрим сам треугольник. Радиус окружности не может быть равен нулю, так как это означало бы, что окружность совпадает с одной из сторон треугольника. Поэтому, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 30.