Який кут утворює відрізок bc та медіана, проведена з вершини ц у трикутнику abc, якщо a(2 3 1), b(1 3 2), c(1

Щоб визначити кут між відрізком \(BC\) та медіаною, проведеною з вершини \(C\) в трикутнику \(ABC\), нам потрібно знати координати вершин \(A\), \(B\) і \(C\).

Звернімося до заданих координат вершин:

\(A(2, 3, 1)\), \(B(1, 3, 2)\), \(C(1, 2, 3)\)

Спочатку потрібно визначити координати середини відрізка \(BC\). Це точка \(M\), яка є серединною точкою відрізка і має координати, що є середніми значеннями координат кінців відрізка. Давайте знайдемо координати точки \(M\):

\(M = \left(\frac{{B_x + C_x}}{2}, \frac{{B_y + C_y}}{2}, \frac{{B_z + C_z}}{2}\right)\)

Сподіваюся, це було зрозуміло. Давайте підставимо відповідні значення координат вершин \(B\) і \(C\) в формулу, щоб отримати координати точки \(M\):

\(M = \left(\frac{{1 + 1}}{2}, \frac{{3 + 2}}{2}, \frac{{3 + 3}}{2}\right)\)

\(M = \left(\frac{2}{2}, \frac{5}{2}, \frac{6} {2}\right)\)

\(M = (1, \frac{5}{2}, 3)\)

Тепер, коли ми знаємо координати точки \(M\), посередині відрізка \(BC\), ми можемо побудувати вектори \(\overrightarrow{BM}\) та \(\overrightarrow{CM}\), які будуть проміжними векторами в головному векторі \(AC\) та відрізку \(BC\) відповідно.

Вектор \(\overrightarrow{BM}\) буде мати початок в точці \(B\) і кінець в точці \(M\), отже його координати будуть:

\(\overrightarrow{BM} = \left(1 - 1, \frac{5}{2} - 3, 3 - 2\right)\)

\(\overrightarrow{BM} = (0, -\frac{1}{2}, 1)\)

Аналогічно, вектор \(\overrightarrow{CM}\) буде мати початок в точці \(C\) і кінець в точці \(M\), отже його координати будуть:

\(\overrightarrow{CM} = \left(1 - 1, 2 - \frac{5}{2}, 3 - 3\right)\)

\(\overrightarrow{CM} = (0, \frac{1}{2}, 0)\)

Тепер нам потрібно знайти косинус кута між цими двома векторами. Використаємо формулу для косинусу кута між двома векторами:

\(\cos \Theta = \frac{{\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM}}}{{|\overrightarrow{BM}| \cdot |\overrightarrow{CM}|}}\)

Де \(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM}\) є скалярним добутком векторів \(\overrightarrow{BM}\) і \(\overrightarrow{CM}\), а \(|\overrightarrow{BM}|\) та \(|\overrightarrow{CM}|\) є довжинами цих двох векторів.

Давайте обчислимо усі ці значення:

\(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 \cdot 0 + (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 0 = -\frac{1}{4}\)

\(|\overrightarrow{BM}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(|\overrightarrow{CM}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\)

Підставимо ці значення у формулу для косинуса:

\(\cos \Theta = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{2}\)

Таким чином, кут між відрізком \(BC\) та медіаною, проведеною з вершини \(C\), буде \(\frac{-\sqrt{2}}{2}\) радіан (або приблизно -0,707 радіан), або при конвертації до градусів приблизно -40,53 градусів.

Надіюся, що ця відповідь була доцільною і зрозумілою для школяра. Будь ласка, не соромтесь задати додаткові питання, якщо є.