Яким є градусний мір меншого катета прямокутного трикутника, оскільки гострий кут цього трикутника дорівнює 55° і його

Для решения данной задачи, сначала найдем длину меньшего катета прямоугольного треугольника.

В данной задаче у нас дано значение острого угла треугольника, которое составляет 55°, и длина гипотенузы, равная 18 см. Для решения задачи воспользуемся тригонометрическим соотношением для прямоугольного треугольника - теоремой синусов.

Теорема синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), \(C\) - противолежащие им углы.

В нашем случае, меньший катет соответствует острым углам, то есть \(A = 55°\), гипотенузе \(c = 18\), и меньшему катету \(a\).

Таким образом, мы можем записать соотношение:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Заменим известные значения в этом уравнении и решим его относительно меньшего катета \(a\):

\[\frac{a}{\sin(55°)} = \frac{18}{\sin(90°)}\]

Заметим, что в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, поэтому \(\sin(90°) = 1\).

Из уравнения получаем:

\[a = 18 \cdot \sin(55°)\]

Вычислим значение \(\sin(55°)\) с помощью калькулятора:

\[\sin(55°) \approx 0.819\]

Подставляем полученное значение в уравнение:

\[a = 18 \cdot 0.819\]

\[a \approx 14.742\]

Таким образом, меньший катет прямоугольного треугольника равен приблизительно 14.742 см.

Теперь перейдем к второй части задачи - нахождению градусной меры дуги, стягнутой меньшим катетом треугольника.

Мы знаем, что вокруг прямоугольного треугольника описано круг, и градусная мера дуги, стягнутой меньшим катетом, равна величине соответствующего центрального угла.

Так как гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на окружности, а треугольник прямоугольный, то градусная мера угла, опирающегося на гипотенузу, равна 90°.

Следовательно, градусная мера дуги, стягнутой меньшим катетом треугольника, также равна \textbf{90°}.