1. Какой вектор равен вектору 3a? 2. Значение числа k, при котором AB = kMA, равно: 3. В параллелограмме ABCD

1. Вектор равен вектору \(3\mathbf{a}\), когда каждая компонента вектора \(\mathbf{a}\) умножается на 3. Для вычисления вектора \(3\mathbf{a}\) нужно умножить каждую компоненту вектора \(\mathbf{a}\) на 3. Например, если вектор \(\mathbf{a}\) имеет компоненты \(a_x\), \(a_y\) и \(a_z\), то вектор \(3\mathbf{a}\) будет иметь компоненты \(3a_x\), \(3a_y\) и \(3a_z\).

2. Чтобы найти значение числа \(k\) при котором \(AB = kMA\), нужно использовать свойство соотношения сторон пропорциональных треугольников. В данном случае, треугольник \(ABM\) и треугольник \(CAM\) являются подобными.

Рассмотрим стороны этих треугольников. Сторона \(AB\) соответствует стороне \(CA\), и сторона \(AM\) соответствует стороне \(CM\). Поэтому, отношение сторон в этих треугольниках равно:

\(\frac{AB}{CA} = \frac{AM}{CM}\)

Заменим в этом равенстве сторону \(AB\) на \(kMA\), так как по условию \(AB = kMA\):

\(\frac{kMA}{CA} = \frac{AM}{CM}\)

Решим это равенство относительно \(k\). Умножим обе части равенства на \(CA\):

\(kMA = \frac{AM}{CM} \cdot CA\)

И, наконец, разделим обе части равенства на \(MA\):

\(k = \frac{AM}{CM} \cdot \frac{CA}{MA}\)

Таким образом, значение числа \(k\) равно отношению длин сторон \(AM\) и \(CM\) умноженному на отношение длин сторон \(CA\) и \(MA\).

3. В параллелограмме ABCD с пересекающимися диагоналями верно следующее равенство: \(\mathbf{AC} + \mathbf{BD} = \mathbf{AD}\). Это равенство является результатом применения правила параллелограмма.

4. В четырехугольнике ABCD, где \(AB = DC\), точка \(K\) находится на прямой \(AD\). Прямая \(CK\) пересекает прямую \(BA\) в точке \(E\).

Так как сторона \(AB\) равна стороне \(DC\), то у нас имеется дело с параллелограммом. Из свойства параллелограмма, диагонали \(AC\) и \(BD\) делятся пополам в точке пересечения. То есть, \(CK\) делит \(BD\) пополам.

Таким образом, отношение \(BE\) к \(EA\) равно 1:1. Что можно записать как \(\frac{{BE}}{{EA}} = \frac{{1}}{{1}}\), или просто \(BE = EA\).