Какие длины у оставшихся двух сторон треугольника, если медиана пересекает биссектрису под прямым углом, а длина

Давайте решим задачу о длинах оставшихся двух сторон треугольника.

Пусть треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC. Медиана AM проведена к стороне BC, а биссектриса BN проведена к углу B под прямым углом.

Известно, что длина стороны, к которой проведена медиана, равна 6, то есть BM = 6. Также известно, что сторона, к которой проведена биссектриса, на 3 см больше третьей стороны, то есть AB + AC = BN + BC + 3.

Для решения этой задачи, нам нужно использовать теорему о биссектрисах и теорему о медианах треугольника.

Теорема о биссектрисах гласит: В треугольнике биссектриса делит противоположную ей сторону пропорционально двум другим сторонам треугольника.

Таким образом, мы можем записать соотношение для длин сторон:
\(\frac{AB}{BN} = \frac{AC}{CN}\)

Теорема о медианах гласит: Медиана треугольника делит сторону пополам.

Из этой теоремы мы можем узнать, что длина стороны CN равна длине стороны BC, то есть CN = BC.

Теперь давайте решим задачу.

Пусть BC = x, тогда BN = x + 3, и CN = x.

Используя теорему о медианах, мы знаем, что BM = MC, то есть MB = MC = \(\frac{x}{2}\).

Теперь мы можем использовать соотношение, полученное из теоремы о биссектрисах:
\(\frac{AB}{BN} = \frac{AC}{CN}\)

Подставим известные значения:
\(\frac{x/2}{x+3} = \frac{6}{x}\)

Упростим выражение, умножив обе стороны на \((x+3)\cdot x\):
\(x \cdot x = 6(x+3)/2\)

Раскроем скобки:
\(x^2 = 3(x+3)\)

Распределим:
\(x^2 = 3x + 9\)

Перенесем все в одну сторону и раскроем скобки:
\(x^2 - 3x - 9 = 0\)

Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и найдем его значение:
\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 9 + 36 = 45\)

Так как \(D > 0\), у нас есть два различных корня для уравнения.

Используем формулу корней \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) и подставим значения:
\(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{45}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{45}}{2}\)
\(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{45}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{45}}{2}\)

Таким образом, длины оставшихся двух сторон треугольника равны \(\frac{3 + \sqrt{45}}{2}\) и \(\frac{3 - \sqrt{45}}{2}\).