Які значення частоти, періоду, амплітуди та жорсткості пружини можна визначити за рівнянням x = 0.2 sint, якщо маса

Для розв"язання задачі нам потрібно скористатися формулами, які пов"язуються з коливаннями пружини та математичним маятником.

Спочатку розглянемо рівняння коливання пружини, яке дано: \(x = 0.2 \sin(t)\), де \(x\) - відхилення пружини від положення рівноваги у метрах, \(t\) - час у секундах.

Для початку, нам потрібно знайти значення частоти коливань пружини. Частота коливань визначається формулою \(f = \frac{1}{T}\), де \(f\) - частота коливань в герцах (Гц), \(T\) - період коливань в секундах (с). Період коливань визначається як час, необхідний для завершення одного повного коливання.

Для визначення періоду коливань пружини використовуємо формулу періоду \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), де \(\omega\) - кругова частота коливань в радіанах за секунду (рад/с).

У даному випадку, ми бачимо, що в рівнянні даного коливання пружини \(x = 0.2 \sin(t)\) коефіцієнт перед \(\sin(t)\) становить 0.2. Цей коефіцієнт відповідає амплітуді коливань пружини \(A\). Тобто \(A = 0.2\) метра.

Тепер можемо розрахувати значення кругової частоти коливань пружини. Використовуючи рівняння \(x = A \sin(\omega t)\), ми можемо порівняти коефіцієнти перед \(\sin(\omega t)\) і \(\sin(t)\). У нашому випадку, \(A = 0.2\) і \(\omega = 1\), оскільки \(0.2 = 0.2 \sin(t)\).

Таким чином, частоту коливань пружини \(f\) можемо визначити як \(f = \frac{\omega}{2\pi}\). Підставляючи значення \(\omega = 1\) в цю формулу, отримуємо \(f = \frac{1}{2\pi}\) Гц.

Тепер перейдемо до розгляду математичного маятника. Для математичного маятника період коливань визначається формулою \(T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\), де \(T\) - період коливань в секундах, \(L\) - довжина математичного маятника в метрах, \(g\) - прискорення вільного падіння, яка на Землі становить приблизно 9.8 м/с².

Ми хочемо, щоб період коливань математичного маятника був такий самий, як у коливаннях пружини. Згідно з цим, знаючи, що \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) для коливань пружини, маємо: \(\frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\).

Тепер, щоб розв"язати це рівняння, можемо скористатися формулою для \(\omega\), яку ми вже використовували: \(\omega = \frac{1}{T}\). Підставляємо значення \(\omega\) в рівняння та вирішуємо його:

\[\frac{2\pi}{\frac{1}{T}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]

\[\frac{2\pi T}{1} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{9.8}}\]

\[\frac{T}{1} = \sqrt{\frac{L}{9.8}}\]

\[T^2 = \frac{L}{9.8}\]

\[L = T^2 \cdot 9.8\]

Таким чином, довжина математичного маятника, щоб його період коливань був такий самий, як у коливаннях пружини, визначається формулою \(L = T^2 \cdot 9.8\), де \(L\) - довжина математичного маятника в метрах, а \(T\) - період коливань у секундах.